Movimiento Relativo.

[Marito]

Buenas tardes,

me puse a hacer un ejercicio de movimiento relativo y estoy totalmente atascado... Tengo la sensación de que mi idea inicial no está mal planteada pero no sé realmente como conseguir avanzar con el. El problema dice esto:

Conocer las magnitudes características del movimiento de un punto P, respecto de un sistema de referencia inercial, si este se mueve con velocidad v = 0,5 cm/s sobre un radio de la rueda de una bicicleta, desde la periferia hacia el centro, cuando el ciclista mantiene una velocidad v = 36 km/h y el diámetro de la rueda es D = 80 cm.

Este ejercicio cayó en un examen la semana pasada y creemos por lo que dijo el profesor que lo pondrá de nuevo esta semana que repetimos el examen (no fue nada bien).

Lo que me pide por tanto es: posición, velocidad y aceleración.

Si estudio que pasa cuando P ya está en el centro (no sé si es esto lo que debo plantear) me quedaría:

r = 10t i (esto va bien?) si es así creo que el resto sabría sacarlo. En el fondo mi problema es comenzarlo...

Espero que me podais orientar un poco. Gracias sin duda.

Un abrazo a todos.

[Al2000]

Re: Movimiento Relativo.

La trayectoria que describe el punto se llama trocoide. Tal vez te quieras leer esta página.

Saludos,

Al

[Marito]

Re: Movimiento Relativo.

Bueno, lo estuve mirando y llego a que mis ecuaciones paramétricas son:

x = 0,4 t - 0,4 sen t
y = 0,4 - 0,4 cos t

pero esto la verdad es que me lia mas... con ecuaciones para métricas no se seguir.

Imagino que mi vector posicion del movimieto relativo es finalmente: r = (0,4 t - 0,4 sen t) i + (0,4 - 0,4 cos t) j

pero la velocidad? v = (0,4 - 0,4 cos t) i + (0,4 sen t) j + w ^ r´

el último término no sé obtenerlo.

Y la aceleración: a = (-0,4 sen t) i + (0,4 cos t) j + \alpha ^ r´ + w ^ w ^ r + 2 w ^ v´

Tengo la sensacion de que estoy mexclando cosas... pero ahora estoy mas perdido que antes.

Un saludo.

[Marito]

Re: Movimiento Relativo.

Buenas de nuevo. Yo creo que esto no me sirve, ya que por lo que he podido ver después buscando se supone que el punto P permanece a una distancia del centro siempre identica. El enunciado dice que P se mueve desde la periferia hacia el centro... que si, que se supone que según gira la rueda, el punto P debería estar siempre en la periferia, pero el enunciado me distrae mas.

Si, aunque diga eso el enunciado, yo digo que P siempre estará en un punto periférico entiendo que, como puse antes:

r = (0,4 t - 0,4 sen t) i + (0,4 - 0,4 cos t) j

v = (0,4 - 0,4 cos t) i + (0,4 sen t) j + w ^ r´

Para sacar la velocidad de rotación no sé que hacer... entiendo que w = v/R siendo v = velocidad del ciclista y R el radio de la rueda, por lo que =

v del ciclista = 36 km / h es decir v = 10 m/s, luego w = 10 / 0,4 = 25 rad/s. Expresado de forma vectorial y según mis ejes sería w = -25 k y si lo multiplico por r´

saco la velocidad... (no sé si el planteamiento va correcto)

La aceleración realmente si que me lia, porque siguiendo este procedimiento creo que la aceleración del ciclista y la de P serían cero... Por favor, decizme si hasta el tema de la velocidad el ejercicio está correcto y dazme la pista de la aceleración, a ver si lo termino...

Muchísimas gracias.

[Al2000]

Re: Movimiento Relativo.

Te ayudo con las ecuaciones. Ya queda de tu parte aprender a deducir la ecuación de la trocoide. Déjame escribir las ecuaciones usando como parámetro el ángulo $\theta$ que ha descrito un radio a medida que se produce el movimiento:

$$<br /> \left \{\begin{matrix}<br /> x_{(\theta )} =& a \theta - b \, \mathrm {sen} \, (\theta) \\ \\<br /> y_{(\theta )} =& a - b \cos( \theta ) <br /> \end{matrix}\right .<br />$$

donde $a$ es el radio de la rueda (40 cm) y $b$ es la posición de P, medida con respecto al centro de la rueda.

El ángulo $\theta$ lo puedes relacionar con la velocidad lineal de la rueda observando que, como la rueda no desliza, el arco descrito por el radio ($a \theta$ ) será igual a la distancia lineal que avanza la rueda ($v_R t$):

$$a \theta = v_R t \quad \Rightarrow \quad \theta = \frac {v_R}{a} t$$

Por otra parte, el problema te dice que el punto P se mueve desde el exterior (radio $a$) hacia el interior a velocidad constante ($v_P$), de manera que el valor de $b$, la posición radial del punto en (1), es:

$$b = a - v_P t$$

sustituyendo (2) y (3) en (1), te quedan las ecuaciones de movimiento:

$$<br /> \left \{\begin{matrix}<br /> x_{(t)} =& v_R t - (a - v_P t) \, \mathrm {sen} \, \left(\dst \frac {v_R} a t\right) \\ \\<br /> y_{(t)} =& a - (a - v_P t) \cos \left(\dst \frac {v_R} a t\right) <br /> \end{matrix}\right .<br />$$

Saludos,

Al

[Marito]

Re: Movimiento Relativo.

A ver, por partes. Primero te agradezco sin duda tu esfuerzo. Entendí lo que haces, pero sigo con dudas. Estas serían las ecuaciones paramétricas del movimiento, no? de ahí tendrí que derivar respecto de t para sacar la velocidad y derivar de nuevo para la aceleracion?

Madre mia que caos de ejercicio me estoy montando yo solito... y mañana tengo el examen final...

[Al2000]

Re: Movimiento Relativo.

Puedes quitar el calificativo "paramétrico" y quedarte con "ecuaciones de movimiento". En esas expresiones $t$ representa el tiempo, igual que en las ecuaciones de movimiento parabólico, o cualquier otro. En efecto, lo único que tienes que hacer para conseguir la velocidad y la aceleración es derivar respecto al tiempo. ¿Que te parecen complicadas las expresiones? Piensa que pudo haber sido peor... el ciclista pudo haber sido un motociclista moviéndose en el interior de una esfera hueca jajajaja

Saludos,

Al