Otras carreras movimiento armonico

[LauraLopez]

Una particula de 100 gramos esta animada de un movimiento armonico simple, tal que cuando su posicion respecto del punto de equilibrio es de 8 cm, su velocidad es de 45 cm/s y su aceleracion de 300 cm/s^2 en sentido opuesto al del movimiento, determinar:

A) La amplitud del movimiento y la frecuencia de la oscilacion
B) La fuerza maxima a la que se vera sometida la particula
C) Expresiones de la posicion, velocidad y aceleracion de la particula en funcion del tiempo, realizando graficas cualitativas de dichas funciones

A) La fuerza elastica valdra $F_e = -kx$ y a su vez $F_e = ma$

Entonces para el punto que me dan $X_1 = 0,08 m$ y aceleracion $a= 3 m/s^2$ tengo:

$F_e = -kx = ma$

$k = - \frac{ma}{ x}$ ( aca supongo que a= - 3 o sea negativa para que ai k me de positiva)

$k = - \frac{0,1 (-3)}{ 0,08} = 3,75$

Luego como $w= \sqrt{k/m}$ , entonces w = 6,1237

y asi $f= \frac{w}{2\pi } = 0,9746 Hz$

Esta bien??

La amplitud como la calculo???

[angel relativamente]

Re: movimiento armonico

Hola LauraLopez. No he comprobado los números pero diría que el planteamiento es correcto. Se me ocurre otro método más corto para calcular la frecuencia y la amplitud:
La expresión de la posición de una partícula en función del tiempo es:

$$x=A\cdot \sin \left(\omega t +\phi_0\right)$$

Y la velocidad y aceleración son su primera y segunda derivada respectivamente:

$$v=A\omega\cdot \cos \left(\omega t +\phi_0\right)$$

$$a=-A\omega^2\cdot \sin \left(\omega t +\phi_0\right)$$

Sustituyendo (1) en (3) tenemos:

$$a=-\omega^2x$$

De ahí despejas $\omega$ y ya calculas la frecuencia.

Para calcular la amplitud se me ocurre lo siguiente: Eleva al cuadrado la expresión (1) y (2), despeja en ambas $\sin^2$ y $\cos ^2$ y suma ambas expresiones. Llegarás a una expresión de la velocidad que no depende de t, sino de x. En concreto:

$$v=\omega \sqrt{A^2-x^2}$$

De donde es trivial despejar A.


Saludos,

[LauraLopez]

Re: movimiento armonico

Gracias! en la ultima expresion puede ser que este mal? porque haciendo lo que decis llego a :

$v=\sqrt{A^2-x^2}$ sin el omega entonces$A = \sqrt{v^2 + x^2}$ no veo como hacer aparecer el omega ese...

y con el inciso b?

[angel relativamente]

Re: movimiento armonico

Has debido comerte algo. Veamos:

$$x^2=A^2\cdot \sin^2 \left(\omega t +\phi_0\right)$$

$$v^2=A^2\omega^2\cdot \cos^2 \left(\omega t +\phi_0\right)$$

Despejando:

$$\sin^2 \left(\omega t +\phi_0\right)=\dfrac{x^2}{A^2}$$

$$cos^2 \left(\omega t +\phi_0\right)=\dfrac{v^2}{A^2\omega^2}$$

Sumando ambas expresiones:

$$\dfrac{v^2}{A^2\omega^2}+\dfrac{x^2}{A^2}=1$$

$$\dfrac{v^2+x^2\omega^2}{A^2\omega^2}=1$$

$$v^2+x^2\omega^2=A^2\omega^2$$

$$v^2=\omega^2(A^2-x^2)$$

$$v=\omega\sqrt{A^2-x^2}$$

Para el inciso b) bien sencillo. Si te piden la fuerza máxima has de calcular la aceleración máxima y luego aplicar la ley de Newton. La aceleración viene dada por:

$$a=-A\omega^2\cdot \sin \left(\omega t +\phi_0\right)$$

La máxima será cuando $\sin \left(\omega t +\phi_0\right)=1$ , por lo que:

$$a_{max}=-A\omega^2$$

Y consiguientemente:

$$F_{max}=-Am\omega^2$$

Saludos,

[LauraLopez]

Re: movimiento armonico

tenes razon gracias! ahi reemplazo con valores numericos y cualquier duda nueva te aviso observo que la fuerza me terminara dando negativa pero esto esta bien que sea asi no? porque en ese punto tengo la elongacion maxima, si en cambio hubiera tenido la compresion maxima la F_e me hubiera dado de signo positiva no?

[LauraLopez]

Re: movimiento armonico

La unica duda es si esta bien dar el resultado de la fuerza maxima como negativa, reemplazando llegue a :

${F}_{max } = - 0,4073 N$

[LauraLopez]

Re: movimiento armonico

a falta de comentarios asumo que llegue al resultado correcto gracias a angel relativamente :P saludos

[angel relativamente]

Re: movimiento armonico

Lo siento, no me fijé.
En realidad, cuando das el valor de la amplitud, tienes que darlo con $\pm$, pues la amplitud es tanto positiva como negativa (estamos hablando de la posición máxima, y hay dos). Por tanto la fuerza debiese darse en $\mp$. No obstante, como muchas veces solemos dar la amplitud en positivo, estaría bien dar la fuerza en negativo.

Saludos,