corredera que oscila

[LauraLopez]

Re: corredera que oscila

Ahora siii ya entendi y lo termine de resolver, muchisimas gracias arivasm pense que este ejercicio no lo iba a terminar de entender nunca muchas gracias por tu ayuda!!!! estoy re contenta al fin lo termine

[arivasm]

Re: corredera que oscila

Pues, si $\sin 4\pi t=0$, entonces $\cos 4\pi t=\pm\sqrt{1-\sin^2 4\pi t}=\pm 1$, $\sin 8\pi t =\sin 2(4\pi t)=2\sin 4\pi t\,\cos 4\pi t=2\,0\,(\pm 1)=0$ y $\cos 8\pi t =\cos 2(4\pi t)=\cos^2 4\pi t-\sin^2 4\pi t=(\pm 1)^2-0=1$

[LauraLopez]

Re: corredera que oscila

pasa que no entiendo bien como hacerlo sin calcular un valor para t....

[arivasm]

Re: corredera que oscila

PARA r= 0:

$r= 5 \sin (4\pi t) = 0$ entonces de aca tengo que t= 0 eso asi esta bien? ya se que hay varios valores de t que cumplen esa condicion pero el mas facil de tomar es ese , eso estaria mal igualmente?

Ya te dije anteriormente que no necesitas manejar ningún valor de t. Si sabes el valor del seno conoces el del coseno ($\cos\phi=\pm\sqrt{1-\sin^2\phi}$), y también del seno y coseno del ángulo doble ($\sin 2\phi=2\sin\phi\cos\phi$ y $\cos 2\phi=\cos^2\phi-\sin^2\phi$).

luego tengo que $\dot r= 5(4\pi) \cos (4\pi t)$ y aca a t lo reemplazo por cero entonces tengo que $\dot r = 20 \pi$

En realidad es $\dot r=\pm 20\pi$, aunque no afecte al resultado final.

Digamos que lo que escribes es correcto, pero pierde brillo al hacerlo particular para t=0. Es más, he visto ejercicios donde eso conduce a perder un montón de resultados correctos.

[LauraLopez]

Re: corredera que oscila

a ver si entendi....hasta donde voy entiendo es que llego a estas expresiones:


$\ddot x=\ddot r\cos\theta-2\dot r\dot\theta\sin\theta-r\ddot\theta\sin\theta-r{\dot\theta}^2\cos\theta$

$\ddot y=\ddot r\sin\theta+2\dot r\dot\theta\cos\theta+r\ddot\theta\cos\theta-r{\dot\theta}^2 \sin\theta$

Luego tengo que calcular cuando valen cada una de ellas en r= 0 y en r= 5 ? y luego encontrar el modulo? y eso seria el resultado que me piden?
Si es asi tengo:

PARA r= 0:

$r= 5 \sin (4\pi t) = 0$ entonces de aca tengo que t= 0 eso asi esta bien? ya se que hay varios valores de t que cumplen esa condicion pero el mas facil de tomar es ese , eso estaria mal igualmente?

luego tengo que $\dot r= 5(4\pi) \cos (4\pi t)$ y aca a t lo reemplazo por cero entonces tengo que $\dot r = 20 \pi$ y haciendo un analisis similar tenog que $\ddot r= 0$

Con $\theta$ hago un analisis similar :

$\theta = 0,2 \sin (8\pi t )$ cuando t vale cero tengo que $\theta = 0$ derivando la expresion y reemplazadno con t= 0 llego a : $\dot \theta = 1,6 \pi$ y $\ddot \theta = 0$

Finalmente con todo esto reemplazo y tengo

$\ddot x = 0$

$\ddot y = 632$

El resultado obtengo lo mismo que me pusiste vos antes pero la forma es correcta? no veo esa necesidad de usar esa formula de los angulos dobles o algo asi..porque para theta es igual que para r tengo $\sin (8\pi t)$ y esto es igual a cero cuando t=0

[arivasm]

Re: corredera que oscila

Como te piden la aceleración, sin más, entiendo que se trata de calcular su módulo. Lo que escribí en el post #8 era otro camino alternativo, que pasaría por hacer uso de las componentes radial y transversal, para después substituir directamente en la expresión que marqué como (1): $a^2=(\ddot r-r{\dot\theta}^2)^2+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)^2$. La idea era que si $r=0$, entonces $\dot r=\pm 20\pi\;\rm cm/s$, etc. En definitiva, no es necesario pasar por ahí, podría usarse $\ddot x$ y $\ddot y$, sin más.

[LauraLopez]

Re: corredera que oscila

gracias ahi entendi eso..ahora yo tenia entonces una expresion para la aceleracion en x e y...porque luego hay que encontrar una expresion sobre los ejes radial y transversal como hiciste?

[arivasm]

Re: corredera que oscila

He usado un convenio muy común: $\vec r$ denota un vector, mientras que $r$ denota su módulo. Como he llamado $\vec r$ al vector de posición, tenemos que $\vec r=(r\cos\theta,r\sin\theta)$, pues $x=r\cos\theta$ e $y=r\sin\theta$. De ahí que $\vec r/r=(\cos\theta,\sin\theta)$

[LauraLopez]

Re: corredera que oscila

y el r que no es vector quien es? No veo como una direccion como ser la $e_r$ la del eje radial se transforma en coseno y seno como haces....que es lo que se hace? una proyecccion? o que cuenta te permite llegas a esas igualdades? no logro verlo...

[arivasm]

Re: corredera que oscila

He llamado $\vec r$ al vector de posición de la partícula, es decir, el OA (y entonces trazado desde el origen, no desde el eje). Su módulo es la distancia OA. $\vec e_r$ es el versor correspondiente, que junto con $\vec e_\theta$ forma la base de los vectores en el sistema de referencia de las coordenadas polares. Ya digo que he usado la letra r para lo que el enunciado llama x (para poder usar esta última letra con la coordenada tomada sobre el eje horizontal del dibujo).

[LauraLopez]

Re: corredera que oscila

Perdon sigo sin entender... con respecto a la forma de resolverlo bueno intentare hacerlo como vos decis si es que asi es mas facil.


$\vec e_r = \vec r/r=(\cos\theta,\sin\theta)$

A ver si puede entender de donde sale esa formula...$e_r$ es ese eje que aparece dibujado no? el que no es horizontal?
Luego $\vec r$ a que seria igual? y r? es esa distancia del eje al punto A no? o sea el r es un valor? o tiene una formula asociada tambien?

[arivasm]

Re: corredera que oscila

En la primera línea que escribí antes olvidé comentar este problema: el centro de la ranura está en reposo. Es por eso que no lo puedes enfocar como un problema de movimiento relativo, pues la complejidad del mismo está en lo que llamas $X_{C/D}$.

La expresión que indicas es para el movimiento de un punto con relación a otro. Aquí podría usarse, pero haciendo algunas adaptaciones previas, que casi prefiero no citar, al menos de momento. Digamos que si quieres usar lo que indicas, debes elegir como D un punto del disco que sí refleje adecuadamente el movimiento del disco, pero entonces debes hacer cambios en la descripción del movimiento de C, pues en el enunciado te la dan referida al centro del disco que, como dije antes, está en reposo.

[arivasm]

Re: corredera que oscila

Sí, si puedes usarlo, pero teniendo en cuenta que D no es el disco, sino el centro de la ranura.

Sobre la expresión de la aceleración, sí se deducen de las expresiones para x e y. Usé que $\vec e_r = \vec r/r=(\cos\theta,\sin\theta)$ y por ortogonalidad con éste $\vec e_\theta = (-\sin\theta,\cos\theta)$. Creía que ya había aparecido en algún otro hilo, creo recordar que era sobre el movimiento de un satélite.

Por último, en todo MAS, si llamamos $y$ a la elongación, se cumple que $\ddot y=-\omega^2 y$. En este caso la elongación es lo que llamé $r$.

[LauraLopez]

Re: corredera que oscila

Perdon pero me esta costando mucho el ejercicio...primero si lo que me da el enunciado es la posicion de la corredera con respecto al disco y la del disco respecto a Tierra

porque entonces esta mal hacer esto?? ${X}_{C/0 } = {X}_{C/D } + {X}_{D/0 }$

en realidad me pide la aceleracion pero si derivo 2 veces ya tengo las aceleraciones y no seria mas que sumarlas...porque esto asi esta mal?

Bueno intentando entender la forma en que vos decis, no entienod bien el porque haciendo esta proyeccion sobre otros ejes obtengo lo que seria la solucion...
por otro lado como llegas a esta expresion ?

$\vec a=\ddot \vec r=(\ddot r-r{\dot\theta}^2)\vec e_r+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\vec e_\theta<br />$

Se debe deducir de esas que encontraste de x e y no? pero no veo como....

y las ultimas deducciones como esta $\ddot r=-r\omega^2=0$ tampoco las entiendo.... ufa

[arivasm]

Re: corredera que oscila

Por una parte te dan el movimiento relativo de la corredera respecto del disco, con la x(t), y también el movimiento del disco con respecto del eje dibujado en horizontal, al que no han puesto nombre. Precisamente, lo que yo te propuse es llamar X a ese eje horizontal sin nombre y "rebautizar" como r a lo que en el enunciado han llamado x.

Sobre el problema de encontrar los t, como ya ten dije anteriormente, en realidad no los necesitas. Por ejemplo, si r=0 (x=0, en el enunciado), entonces $\sin(4\pi t)=0$, lo que significa que $\cos(4\pi t)=\pm 1$. Si usas las fórmulas para el seno y el coseno del ángulo doble tienes que $\sin(8\pi t)=0$ y $\cos(8\pi t)=1$.

Tienes razón que si se hacen las derivadas de manera explícita la cosa se vuelve larga y pesada. Quizá sea mucho más cómodo derivar las expresiones genéricas. Repito, llamaré r a lo que el enunciado llama x:

$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta$
$\dot x=\dot r\cos\theta-r\dot\theta\sin\theta$
$\dot y=\dot r\sin\theta+r\dot\theta\cos\theta$
$\ddot x=\ddot r\cos\theta-2\dot r\dot\theta\sin\theta-r\ddot\theta\sin\theta-r{\dot\theta}^2\cos\theta$
$\ddot y=\ddot r\sin\theta+2\dot r\dot\theta\cos\theta+r\ddot\theta\cos\theta-r{\dot\theta}^2 \sin\theta$

Bien, en realidad eso un viejo conocido, pues la expresión de la aceleración en coordenadas polares:

$\vec a=\ddot \vec r=(\ddot r-r{\dot\theta}^2)\vec e_r+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\vec e_\theta$

Como lo que queremos es el módulo, aprovechamos la ortogonalidad de los vectores de la base:

$$a^2=(\ddot r-r{\dot\theta}^2)^2+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)^2$$

Así, si $r=0$, entonces $\ddot r=-r\omega^2=0$, y $\dot r=\pm A\omega=\pm 20\pi\;\rm cm/s$, con $A=5\;\rm cm$ y $\omega=4\pi\;\rm rad/s$, donde todo esto sale del hecho de que $r(t)$ sea un MAS, aunque también lo podríamos encontrar por derivación de $r(t)$ y aplicar lo que te dije antes de los senos y los cosenos. Igualmente, tenemos que $\theta=0$, $\dot\theta=0,20\;8\pi\;\rm rad/s$ y $\ddot \theta=0$. Llevando todo esto a (1) tenemos que $a=2\;20\pi\;0,20\;8\pi\;\rm cm/s^2$, es decir, $632\;\rm cm/s^2$.

Claro que he escrito demasiadas cosas, con lo que espero no haberme equivocado en algún sitio...