1r ciclo Duda con ejercicio tiro parabólico

[Julián]

Un avión vuela con una velocidad de 200 [Km/h] en dirección paralela a la horizontal a 500 metros del suelo. Un cañón esta en el suelo y cuando el avión pasa por arriba de este dispara un proyectil. ¿Cuál es la mínima velocidad que tiene que disparar el cañón para que alcance al avión?

Los datos son:
${v}_{avion}=55.5 [m/s]$
$h= 500 [m]$

La verdad que el ejercicio parece fácil pero no he podido hacerlo correctamente.
Es un ejercicio de tiro vertical por lo que la velocidad en la componente x tiene que ser igual a la del avión ¿no es cierto?

Las ecuaciones cinemáticas de cada cuerpo serían:
${y}_{a} = 500 [m]$
${x}_{a} = 55.5 [m/s] t$

${y}_{p} = (v * \sin \theta) t - \frac{1}{2 }g {t}^{2}$
${x}_{p}= (v* \cos \theta) t = 55.5 [m/s] t$

[Grho]

Re: Duda con ejercicio tiro parabólico

Bueno, yo creo que no es muy dificil...
Ten en cuenta que si el cañón dispara en el momento justo cuando el avión esta justo encima es necesario que la componente horizontal de la velocidad inicial de la bala de cañón posea como mínimo la misma que la del avión (porque ni no, la bala no alcanzaría al avión en la dirección horizontal). Después aplicando la conservación de la energía se puede calcular el módulo de la velocidad vertical en el caso límite de tocar al avión con velocidad vertical nula.
Supongo que con estas indicaciones podrás calcular mencionada velocidad (a mi me sale más o menos 113.5 m/s).
Suerte

[Julián]

Re: Duda con ejercicio tiro parabólico

Ten en cuenta que si el cañón dispara en el momento justo cuando el avión esta justo encima es necesario que la componente horizontal de la velocidad inicial de la bala de cañón posea como mínimo la misma que la del avión (porque ni no, la bala no alcanzaría al avión en la dirección horizontal)

Si a eso lo sabía porque me lo dijieron pero no estoy seguro. Entonces si tira la bala con una velocidad horizontal menor, un poco menor, que el avión ¿no importa que tan rapido tira la bala en la dirección vertical nunca alcanzará al avión?

Después aplicando la conservación de la energía se puede calcular el módulo de la velocidad vertical en el caso límite de tocar al avión con velocidad vertical nula.
Supongo que con estas indicaciones podrás calcular mencionada velocidad (a mi me sale más o menos 113.5 m/s).
Suerte

Pero la resolución por un método energético no lo veo muy práctico para el ejercicio. Es solo una cuestión cinemática, de alcance.

A ver, la velocidad con que el cañon dispara al proyectil tiene un componente en $x$ y en $y$. La velocidad en la componente x es la misma que la del avión.

$v= v \cos \theta \hat{\imath} + v \sin \theta \hat{\jmath} = 55,5 [m/s] \hat{\imath} + v \sin \theta \hat{\jmath}$

[Al2000]

Re: Duda con ejercicio tiro parabólico

Ya sabes que la velocidad en X tiene que ser la misma, y la respuesta a tu pregunta es que no importa, la bala siempre irá por detrás (en X) del avión. Similarmente, si disparas la bala con mayor velocidad en X, ésta irá siempre por delante del avión.

La velocidad en Y la puedes determinar por cinemática, sin dar muchas vueltas, simplemente determinando la altura máxima, que por supuesto es lo mismo que te indicó Grho. Si la velocidad es menor, entonces la bala nunca alcanzará el avión; si la velocidad es mayor, entonces ya no será la mínima posible.

La otra forma, mucho mas larga y que llegas al mismo resultado, es igualar la posición en Y de la bala con la altura del avión

$$y = v_{0y} t - \frac 1 2 g t^2 = h$$

despejar la velocidad

$$v_{oy} = \frac {h + \frac 1 2 g t^2} t$$

y determinar el mínimo de esta función. Si te gusta el cálculo puedes entretenerte un rato. Llegarás al mismo resultado.

Saludos,

Al

[Julián]

Re: Duda con ejercicio tiro parabólico

Entonces, el cálculo se basa en obtener la velocidad de la componente en y de la bala.

Las ecuaciones de la bala son:
$y= {v}_{0y}t -\frac{1}{2 }g{t}^{2}$
$x= 55.5[m/s]t$
${v}_{y}= {v}_{0y} - gt$

Si ${v}_{y}= {v}_{0y} - gt$ y calculando que en la altura máxima ${v}_{y}=0$ entonces ${v}_{0y}= gt$

Por lo que

$y= g{t}^{2} -\frac{1}{2 }g{t}^{2} = \frac{1}{2 }g {t}^{2}$
$500[m] = \frac{1}{2 }g {t}^{2}$

por lo que $t = 10.10 [s]$

Ahora con t calculo ${v}_{0y} = 9.8[m/{s}^{2}] * 10.10 [s] = 98.98 [m/s]$

[Grho]

Re: Duda con ejercicio tiro parabólico

Y por tanto, efectivamente resulta lo que te indicamos anteriormente:
$|\vec{v}_{inicial}|=v_{inicial}=\sqrt{v_{oy}^2+v_{ox}^2}=\sqrt{98.98^2+55.5^2}=113.5m/s$