Otras carreras ecuaciones de moviminto de resorte

[LauraLopez]

La figura muestra 2 cuerpos de igual masa apoyados sobre una superficie horizontal libre de rozamiento y unidos mediante un muelle de constante elastica conocida K. Si los cuerpos que inicialmente estan sujetos por el muelle sin deformar, se apartan de su posicion de quilibrio una distancia D cada uno de ellos, y se los deja en libertad, plantear las ecuaciones diferenciales que permitan describir el movimiento de los cuerpos y determinar la frecuencia de oscilacion de cada cuerpo en su movimiento posterior

ALguna ayuda con este nose como relacionar las ecuaciones de MAS son choque que es el tema de este practico..
Gracias

[arivasm]

Re: ecuaciones de moviminto de resorte

En realidad, este tipo de problemas se abordan teniendo en cuenta que sólo hay un grado de libertad, que se corresponde con la distancia entre las dos masas, que se tomaría como la variable para la que se debe encontrar la ecuación de movimiento. El sistema es entonces reemplazado por una única masa igual a la masa reducida del sistema. Digo todo esto porque si estás estudiando el problema de dos cuerpos y el concepto de masa reducida ése sería un buen camino.

Si no es así, la cosa es también sencilla (de hecho, voy a hacer trampa para que en el fondo se haga lo mismo): si tomamos el origen de coordenadas en el cdm, que estará en el punto medio del resorte, como el cdm se mantendrá en reposo si en cierto instante la coordenada de la masa derecha es $x$, la coordenada de la de la izquierda será $-x$, con lo que la distancia entre ambas es $2x$, lo que significa una deformación $2x-l_0$ del resorte. Con la ley de Hooke, y la 2ª ley de Newton, por ejemplo aplicada a la masa de la derecha, tienes la ecuación diferencial buscada.

Para encontrar la frecuencia de las oscilaciones debes comparar dicha ecuación con la general de un MAS y enseguida verás la respuesta.

[LauraLopez]

Re: ecuaciones de moviminto de resorte

Lo de masa reducida no creo que sea el camino que espera que haga asi que me quedo con la otra forma...

por otro lado porque decis eso de que el centro de masas se mantendra en reposo? el separarlos una distancia D no es eso una fuerza externa que esta actuando y provoca eso?los cuerpos no se iran desplazando hacia la derecha o izquierda a medida que oscielan? digo con respecto a un cero que ponga en el sistema de laboratorio estos se desplazan? o se quedan ahi fijos?

cual es la "trampa" que estas haciendo?

- - - Actualizado - - -

Al apartarlos una distancia D y soltarlos empezaran a oscilar y esa distancia x que decis sera un valor en un dado momento donde x es menor que D no?

y con la parte de plantear newton tengo el problema de antes me confunde si debo usar que $f_e = kx$ o usar que $f_e = -kx$

En los libros aparece que la formula es $f_e = -kx$ pero entonces si ya le pone el signo aca cuando planteo newton por ejemplo al cuerpo de la derecha debo poner la fuerza elastica sin signo no? porque al hacer el diagrama de cuerpo aislado para el cuerpo de la derecha veo que la fuerza elastica apunta hacia la izquierda y si la derecha son los positivos hacia la izquierda son los negativos entonces cuando planteo la sumatoria en x seria:

$\sum x = -fe = ma$ debo poner ese signo menos porque la fuerza elastica apunta hacia la izquerda pero cuando reemplazo su valor si uso $f_e = -kx$ me termina quedando mal la ecuacion diferencial, veo que la correcta es usando $f_e = kx$

Entonces como puedo hacer para no caer nuevamente en estas dudas? estaria bien siempre reemplazar la fuerza elastica por $f_e = kx$ y la parte del signo quedaria determinada en los diagramas de cuerpo aislado cuando dibujo las flechitas hacia los negativos o los positivos... se entiende? o sea en este caso seria:

$\sum x = -fe = ma$ y luego reemplazo el valor de$f_e$ por $f_e = kx$ y asi me quedaria:

$\sum x = -kx = ma$

entonces $\frac{\mathrm{d} {x}^{2 }}{\mathrm{d} {t}^{2 } } + \frac{k}{m }x = 0$ esta es la ecuacion diferencial que me piden? Ademas esta ecuacion es exactamente igual a la de movimiento armonico simple general....porque me decias que la compare para determinar la frecuencia eso sigo sin ver como obtenerla

perdon por dejarte tantas dudas

[arivasm]

Re: ecuaciones de moviminto de resorte

Entiendo que actuará una fuerza externa para deformar el sistema, pero el ejercicio se refiere a lo que sucederá después, una vez que el sistema se deja libre. De ahí que el cdm permanezca en reposo.

La "trampa" consiste en apreciar que si se elige el SR del cdm sólo hace falta una ecuación diferencial que nos dé la evolución de la coordenada x de uno de ellos (por ejemplo el de la derecha), pues la del otro será igual, pero de valor opuesto (si pones el x=0 en el cdm).

La x pasará por diversos valores, correspondiendo $x=D+l_0/2$ a uno de los extremos del movimiento.

Para la fuerza debes usar $f_e=-k(2x-l_0)$, pues al ser x la coordenada de uno de los cuerpos, la longitud del resorte en cada instante será 2x, y su alargamiento $2x-l_0$. Te sugiero que no llames x a la deformación. Si quieres trabajar con ésta, usa otra variable, $y=2x-l_0$.

La ecuación diferencial que encontrarás es $m\ddot x=-k(2x-l_0)$. Si introduces la y anterior pasa a ser $m\ddot y/2=-ky$, que al compararla con la genérica de un MAS, $\ddot y=-\omega^2 y$ se ve que $\dst\omega=\sqrt{\frac{2k}{m}}$.

[LauraLopez]

Re: ecuaciones de moviminto de resorte

con respecto a lo que planteaba de los signos de la fuerza elastica entonces veo que lo ultimo que decia esta bien no? no entiendo lo ultimo que haces el porque usas una variable "y" y como pasas de esa ecuacion con "x" a esa ecuacion con "y"

Se me ocurre que despejaste la x de $y= 2x - l_o$ pero despues si derivas 2 veces la x te queda que la la segunda derivada de y es cero...nose no entiendo como hiciste
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el dado de que se separan una distancia "D" para que se usa? en este caso el D es un valor generico pero si por ejemplo me decia una distancia "D= 5 cm" hubiera influido en algo esto?

[arivasm]

Re: ecuaciones de moviminto de resorte

La introducción de la variable y es simplemente para que se vea mucho mejor el carácter de MAS. La segunda derivada de y es igual a la segunda derivada de x, pues derivamos respecto del tiempo, no de x. El dato de la separación D sólo sirve para determinar las condiciones iniciales, una vez que se integra la ecuación diferencial.

[LauraLopez]

Re: ecuaciones de moviminto de resorte

ahh ahi entendi esa ecuacion diferencial es lo que me pide el enunciado? porque me habla de las ecuaciones diferenciales o sea en plural pero esa sola seria no?

Luego para la frecuencia de oscilacion lo que me pide es la f? que la fomrula es $\dst f = \frac{w}{2\pi }$ ?? donde w es lo que me dijiste antes y cada cuerpo tiene la misma frecuencia de oscilacion

[arivasm]

Re: ecuaciones de moviminto de resorte

Es que gracias al truco de recurrir al SR centrado en el cdm, si conoces el movimiento de una de las masas, x(t), la de la otra será -x(t). Sería diferente si las dos masas no fuesen iguales (también habría que hacer del mismo modo: manejar la variable y y relacionar cada una de las coordenadas de las masas con esa variable).

Una alternativa al procedimiento anterior sería la siguiente: definir la posición de cada una de las masas, $x_1$ y $x_2$; la longitud del resorte será $x_2-x_1$ y su alargamiento $x_2-x_1-l_0$; las ecuaciones diferenciales serán $m_1 \ddot x_1 = k (x_2-x_1-l_0)$ y $m_2 \ddot x_2 = -k (x_2-x_1-l_0)$. Este enfoque es independiente del SR utilizado, pero tiene el inconveniente de que no es nada fácil ver a partir de esas dos ecuaciones acopladas el oscilador armónico. Por supuesto, la salida es referirse al SR del cdm: la igualdad de las masas hace que $x_1=-x_2$ (antes llamamos $x$ a $x_2$).

Por si me vas a preguntar cómo se haría en el SR del cdm si las dos masas fuesen diferentes, la idea sería que al estar el cdm en x=0 las dos x no son independientes, pues entonces $m_1 x_1 + m_2 x_2=0$, lo que nos permite despejar una de ellas y ponerlo todo en función de la otra, que es lo mismo que hicimos antes.

[LauraLopez]

Re: ecuaciones de moviminto de resorte

asumo que lo que dije antes estaba bien entonces :P gracias!