Otras carreras cuerpo rigido

[LauraLopez]

La figura muestra un disco circular de radio R= 10 cm que rueda sin deslizar entre las placas A y B que se mueven paralelamente y en sentidos opuestos con velocidades de 2 y 4 m/s respectivamente

A) Determinar la posicion del centro de velocidad nula del disco, respecto dle punto o del mismo

B) Determinar la velocidad del centro de masa del disco asi como la velocidad y aceleracion del punto periferico D indicado en la figura

La verdad que es el primer ejercicio que voy a hacer de cuerpo rigido y me esta costando mucho...el dato de que rueda sin deslizar para que me sirve? y alguna ayuda para hacer estos incisos? estoy muy trabada

Gracias

[angelo]

Re: cuerpo rigido

Hola Laura,

Piensa en el movimiento total del sólido como una superposición de 2 movimientos elementales: traslación pura + rotación pura.
Tienes que definir 3 sistemas de referencias:
- 0: sistema de referencia fijo
- 1: sistema de referencia asociado a la rueda, el cual se traslada con esta
- 2: sistema de referencia asociado a la rueda, el cual gira con esta

De esta manera, el movimiento relativo 10 es una traslación pura, el movimiento relativo 21 es una rotación pura. Por tanto el movimiento total será la suma 21+10

El dato de que rueda sin deslizar te sirve para saber la velocidad total en los puntos de contacto con las placas.

¿Qué has intentado hacer? ¿Qué fórmulas tienes?

[LauraLopez]

Re: cuerpo rigido

con lo que me dices me siento mas perdida jeje

las formulas que conozco son:

Sean 2 puntos A y B pertenecientes al cuerpo rigido ( creo que esto es valido para 2 puntos cualquiera) no justamente tienen que ser el A y B del enuncuado

$V_a = V_b + \omega \times {r}_{A/B }$

$a_a = a_b + \omega \times \omega \times {r}_{A/B } + \gamma \times {r}_{A/B }$

y el inciso A me pide el centro de velocidad nula respecto de 0 que creo que es un punto Q tal que $v_q = 0$ y asi cualquier otro punto se lo puede expresar respecto de dicho punto.

Con esas 2 formulas se puede resolver? o me faltan formulas? esas son las que conozco para cuerpo rigido

Gracias

- - - Actualizado - - -

Tengo las soluciones que dice que son:

a) ${r}_{Q/0 } = 3,3 \hat{\jmath}$ (cm)

b) $v_0 = -1 \hat{\imath}$

$V_d = -1 \hat{\imath} - 3 \hat{\jmath}$

$a_d = -90 \hat{\imath}$

Alguien puede llegar a esos resultados con las formulas que yo dije?

Gracias

[angelo]

Re: cuerpo rigido

De tu primera expresión para las velocidades, puedes calcular la velocidad angular del sólido conocidas la velocidad total en A y en B (datos). Una vez conozcas la velocidad angular, planteas de nuevo el cálculo de velocidades en un punto Q tal que la vleocidad total se haga nula.

De todas formas, para resolver este tipo de problemas de sólido rígido, lo más sencillo y sistemático es abordarlo por composición de movimientos.

[LauraLopez]

Re: cuerpo rigido

esa forma de composicion de movimientos no la conozco asi que bueno tratare de hacerlo de esta forma que digo y luego espero me puedas explicar como se hace de la otra forma que si es mas sencilla bienvenida sea je y asi veo de llegar a los mismos resultados por los 2 caminos.

Con respecto a la forma que estoy intenando hacer sigo trabada.....Hice lo que decias al principio y tengo:

$v_a = v_b + \omega \times {r}_{A/B }$

$2 \hat{\imath} = -4 \hat{\imath} + \omega 2R \hat{\imath}$ ( ${r}_{A/B }$ tome que vale -2R en $\hat{\jmath}$ esto es asi no? )

$w = 0,3$

Luego por la regla de la mano derecha vemos que rota en -k entonces $w= -0,3 \hat{k}$

Luego no entendi como tengo que seguir...

[angelo]

Re: cuerpo rigido

Está bien planteado. El módulo de la velocidad angular es $\omega=3/R$, y su dirección será $\vec{\omega}=(3/R)\hat{k}$, tomando el eje $z$ positivo hacia dentro del plano del dibujo.

Una vez conoces esa velocidad angular, ya lo sabes todo acerca del campo de velocidades del sólido. Como te piden calcular el punto de velocidad nula con respecto de O, vamos a ver primero qué velocidad total posee ese punto O. Para ello planteas de nuevo (tomando como referencia A, por ejemplo)

$\vec{v}_O=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\vec{OA}=2\hat{i}-\omega R\hat{i}=-\hat{i}$

Ahora, planteas el cálculo del punto Q, tal que $\vec{v}_Q=0$ (centro instantáneo de rotación). Tomando como referencia O, escribes

$\vec{v}_Q=\vec{v}_O-\vec{\omega}\times\vec{OQ}=0$

Si escribes el vector $\vec{OQ}=\alpha\hat{i}+\beta\hat{j}$, podrás plantear un sistemas para calcular cada una de sus componentes. A mí me sale que $\alpha=0$ y $\beta=1/\omega=R/3$. Por tanto $\vec{OQ}=(R/3)\hat{j}$

[LauraLopez]

Re: cuerpo rigido

Tengo problemas con esto de los signos....hay que tomar las direcciones si o si como hiciste vos? yo por ejemplo suelo decir que el k es positivo hacia afuera o sea saliente por eso a mi me queda con el signo menos...esto que hago esta mal? o deberia ser equivalente? pasa que no llego a tus mismos resultados haciendo esto que yo digo y no veo que hago mal

tengo que:

$v_0 = v_a + w \times {r}_{0A }$


donde w esta en $-\hat{k}$ y ${r}_{0A }$ en $\hat{\jmath}$ asi que usando la regla de la mano derecha me da que :

$v_0 = 2 \hat{\imath} + wR \hat{\imath}= 5 \hat{\imath}$

no me da igual que a vos....porque ? que hago mal ? esto siempre me confunde lo de las direcciones

gracias

- - - Actualizado - - -

viendo lo que haces vos tmapoco me da igual tu producto vectorial..... el vector posicion no seria uno que va del punto 0 al punto A con lo cual su direccion seria en j?

[angelo]

Re: cuerpo rigido

Puedes definir los ejes como quieras, siempre que luego seas consecuente con los signos en las operaciones algebraicas. Yo lo hago de acuerdo a $\hat{k}=\hat{\imath}\times\hat{\jmath}$, lo que me sale positivo hacia adentro. ***

*** Uf, qué mal! sale positivo hacia afuera! fallo mío!

El producto vectorial te da directamente módulo y dirección, no necesitas usar regla de la mano derecha (que es un convenio). Si haces lo siguiente, siempre tendrás la seguridad que el resultado será correcto

$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}<br /> \hat{\imath} &\hat{\jmath} & \hat{k}\\ <br /> a_1 & a_2 & a_3\\ <br /> b_1 & b_2 & b_3<br /> \end{vmatrix}$

En mi caso, $\vec{\omega}\times\vec{OA}$, donde $\vec{\omega}=(3/R)\hat{k}$ y $\vec{OA}=R\hat{\jmath}$, quedaría

$\vec{\omega}\times\vec{OA}=\begin{vmatrix}<br /> \hat{\imath} &\hat{\jmath} & \hat{k}\\ <br /> 0 & 0 & 3/R\\ <br /> 0 & R & 0<br /> \end{vmatrix}=-3\hat{\imath}$

En tu caso, al haber tomado el eje z positivo en el sentido opuesto, deberías hacer algo así

$\vec{\omega}\times\vec{OA}=\begin{vmatrix}<br /> \hat{\imath} &\hat{\jmath} & -\hat{k}\\ <br /> 0 & 0 & 3/R\\ <br /> 0 & R & 0<br /> \end{vmatrix}=-3\hat{\imath}$

[LauraLopez]

Re: cuerpo rigido

hice eso que indicas pero no me da.... no veo cual es el error

hacienod lo que decias vos el producto vectorial era :

$w \times {r}_{0A } = 3 (\hat{k} \times \hat{\jmath}) = 3 \hat{\imath}$ de esa forma con la regla de la mano derecha haciendo como indicaste antes llego a exactamente lo mismo....

- - - Actualizado - - -

Me da la sensacion de que vos interpretas de que ${r}_{ 0A}$ es en la direccion de -j o sea que apunta hacia abajo...puede ser? si es asi no veo porque es esto para mi el que apuntaria hacia abajo seria el vector ${r}_{A0 }$

[angelo]

Re: cuerpo rigido

He tomado el vector OA bien, apuntando hacia arriba. Haz el producto vectorial resolviendo el determinante asociado, y evita usar la regla de la mano derecha para no liarte con los signos. Es lo que yo hago y siempre me da bien.

[LauraLopez]

Re: cuerpo rigido

poruqe son asi los productos vectoriales que pones en tu post 8 ?? yo hubiera dad como solucion 3 i a dicho producto vectorial..... si j x k es igual a i no a -i ....porque da asi? o estoy muy confundida nose

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perdon me cuesta verlo por mas que sea algo muy facil nose porque no logro darme cuenta....me debo estar olvidando algo de como se resuelve esto cuando haces el determinante porque en el segudo caso pones -k ? el tomar positivo hacia adentro es siempre lo positivo?

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nunca vi eso de poner un signo menos sobre el versor k capaz q ahi esta mi confusion

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yo el signo menos lo ponia en las componentes pero los versores siempre eran hacia la derecha el i hacia arriba el j y hacia afuera el k o sea loe 3 positivos pero algo debo hacer mal no llego a tus resultados

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Si me decis que el versor k siempre se toma positivo hacia adentro creo que me empiezan a cerrar las cuentas je pero esto me resulta raro porque seria en contra de la regla de la mano derecha

[angelo]

Re: cuerpo rigido

Sí, tienes razón. El versor k positivo apunta hacia afuera. Fue un error mío.

[LauraLopez]

Re: cuerpo rigido

pero igual tus cuentas estan bien no?

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poruqe para mi da positivo pero de ser asi no da como dice la solucion

[angelo]

Re: cuerpo rigido

Sí, pienso que están bien. De hecho están acorde con el resultado.
Pero estoy intentando repensarlo de nuevo para explicarlo de forma más clara.

[LauraLopez]

Re: cuerpo rigido

bueno gracias!!! porque me sigue dando + 3 i ese producto vectorial......

Me parece que se esta tomando que el j es positivo hacia abajo...o sea que r_OA va en -j. Haciendo asi creo que cierran las cuentas pero no se porque puede ser esto lo correcto