Otras carreras varilla que rota

[LauraLopez]

La varilla de 45 cm pesa 75 Kg y gira libremente alrededor del eje vertical que pasa por O. Si a la barra que inicialmente se encuentra en reposo se le aplica una fuerza horizontal F de 135, 5 N. Calcular el valor maximo de la componente horizontal de reaccion en 0 en la direccion de la fuerza F

Alguna ayuda? Me cuesta hasta entender lo que me piden....
Gracias!

[arivasm]

Re: varilla que rota

Sobre la varilla actuarán tres fuerzas (aunque una de ellas convendrá verla descompuesta en dos): su peso P, la fuerza aplicada F, y la fuerza que ejerce en O el eje, que, como adelanté, vamos a visualizar descompuesta en dos, una vertical V y otra horizontal R.

Por tanto, en vertical tienes dos fuerzas, V y P, que se anulan entre sí, y en horizontal tienes otras dos: F y R. Pues bien, lo que te piden es el valor de R.

La referencia que hace el enunciado al valor máximo de R entiendo que se trata de que la fuerza F no va a "ir siguiendo" la rotación, es decir, no va a girar a medida que la varilla gira, sino que se mantiene en dirección y sentido, de manera que formará con la varilla un ángulo cambiante. Como consecuencia de esto último, también el valor de R dependerá de dicho ángulo. De ahí que debas buscar su valor máximo.

Sobre cómo abordarlo, con el torque total y el momento de inercia de la varilla respecto del eje de giro (para lo que es útil recurrir al teorema de Steiner), puedes encontrar una expresión para la aceleración angular de la varilla, lo que te permitirá calcular la aceleración del cdm. Aplicando el principio fundamental de la dinámica encontrarás el valor de R. Por último, sólo tendrás que ver cuál es el ángulo entre F y la varilla que conduce al R máximo.

Hay que decir que el ángulo que formará R con la varilla no necesariamente es el mismo que el que forma F con la varilla.

Si no me equivoco (y sabes que es demasiado habitual que ocurra), el máximo de R se produce cuando F es perpendicular a la varilla y el resultado es $R_{max}=F/\sqrt{2}$.

[LauraLopez]

Re: varilla que rota

Ahi entendi un poco mas aunque aun no logro resolverlo...

Primero encontre el momento de inercia respecto a 0 asi:

$I_0 = M \frac{{L}^{2 }}{12 } + M \frac{{L}^{2 }}{9 }= \frac{7}{36 } M {L}^{2 }$

Luego tomo momento respecto a 0 y tengo:

$\frac{L}{3 }F = I_0 \gamma$

Despejo $\gamma$

$\gamma = \frac{12 F}{7 M L }$

Hasta ahi voy bien?

Despues como sigo? Aca tengo una duda creo que me decis que use esta formula $a_c = \gamma R$

esa formula yo tenia entendido que era valida para cuando tenia un cuerpo que rodaba sin deslizar, para el caso de cuerpos no rodantes como es este caso tambien es valida esta formula? esta es valida siempre?

De tener que usar esta formula seria:

$a_c = \gamma R$ aca R que distancia es?

Y luego como se sigue el ejercicio?

[arivasm]

Re: varilla que rota

Mmm. Para el momento de inercia respecto de O usé el teorema de Steiner. Respecto del centro de la varilla es $\frac{1}{12}ML^2$. Como la distancia entre O y el centro es L/6, por el teorema de Steiner el mdi respecto de O es $\frac{1}{12}ML^2+M(L/6)^2=\frac{1}{9}ML^2$.

Con respecto al momento de F respecto de O veo que no has manejado la posibilidad de que F no esté perpendicular. Por lo demás lo que escribes es correcto (salvo el mdi).

Una vez que tienes la aceleración angular la aceleración (tangencial) del cdm es tal como indicas, con R=L/6, pues es el radio de giro del cdm respecto de O.

Con la aceleración tangencial del cdm aplica la 2ª ley (sólo tendrás que manejar F y la fuerza que te piden, que yo llamé R -no confundirla con la distancia anterior-) para encontrar la respuesta.

Eso sí, habría que justificar de algún modo por qué el máximo corresponde a que F sea perpendicular a la varilla. Pero como veas que andas de tiempo preparando tus exámenes. Lo digo no porque sea demasiado largo, sino porque aún tiene su pequeño intríngulis.

[LauraLopez]

Re: varilla que rota

no me doy cuenta el porque la distancia entre el centro y 0 es L/6..... como te das cuenta?

- - - Actualizado - - -

ahh ya me di cuenta de eso, con respecto a que F no es perpendicular como seria entonces? y la formula esa es valida siempre entonces?

- - - Actualizado - - -

o es valida porque se supone que no hay deslizamiento?

[arivasm]

Re: varilla que rota

A medida que la varilla rota, la fuerza aplicada F deja de ser perpendicular:

Sobre la fórmula, ¿a cuál te refieres?, ¿a la del momento de inercia?. Si es así, sí, no cambia porque haya ángulo. Si te refieres al momento resultante, no, hay que tener en cuenta el ángulo; así, si llamas $\theta$ al ángulo que forman la dirección de la varilla y la de F, el momento será $\dst F\frac{L}{3}\sin\theta$.

[LauraLopez]

Re: varilla que rota

Me referia a esta formula : $a_c = \gamma R$ que la pueda usar solo por el hecho de que asumo que no desliza? o siempre es valida?

Con respecto a la solucion del ejercicio no llego al valor que me mencionaste en tu primer post , si a uno similar, nose si tendre un error teniamos:

$I_0 = \frac{1}{9 }M {L}^{2 }$

$\frac{F L \sin \theta}{3 } = \frac{1}{9 } M {L}^{2 } \gamma$

entonces $\gamma = \frac{3 F \sin \theta}{ML }$

Ademas [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Luego plantenado newton seria:

$R = M a_c = \frac{F \sin \theta}{2 }$

[arivasm]

Re: varilla que rota

Sobre la fórmula: recuerda que la has deducido alguna vez al emplear coordenadas polares. El resultado era éste, $\vec a=(\ddot r-r \dot\theta^2)\vec u_r+(2\dot r\dot\theta+r\ddot\theta)\vec u_\theta$. Como r es constante para el cdm (siempre está a L/6 del centro de giro), nos queda un término centrípeto y uno tangencial: $\vec a=-r \dot\theta^2\vec u_r+r\ddot\theta\vec u_\theta$.

Por cierto que, como puedes ver (y esto también se me pasó por alto en un post tuyo anterior) no es $a_c=r\ddot \theta$, sino $a_t=r\ddot \theta$. Aquí es $a_c=r\dot\theta^2$.

Tienes mal el planteamiento de la 2ª ley. Debes considerar las dos fuerzas (F y R), y además no sólo las componentes tangenciales, sino también las radiales. Por otra parte, hay que tener en cuenta que la fuerza R no necesariamente será paralela a la F, es decir, en general no formará el mismo ángulo con la varilla (la excepción será el caso 90º, en el que sí también deberá ser perpendicular).



Precisamente a raíz de esta última corrección he revisado mi solución al ejercicio y he visto que tenía un error, que afectaba a cómo manejé la componente centrípeta. Aunque sigo confirmando el resultado final para el caso en que la fuerza F es perpendicular a la varilla, se me ha complicado extraordinariamente la demostración de que el máximo del módulo de R se corresponde con esa posición.

Digamos que al tener que meter en juego $\dot\theta$ no queda más remedio que integrar la ecuación de movimiento para $\theta(t)$, lo que obliga a manejar funciones especiales (concretamente amplitudes de Jacobi). Por tanto, ya adelanto que tendremos serios problemas (mejor dicho, *tendré*) para demostrar que el máximo de R es ése y no otro (es más, hasta empiezo a dudar que no pueda haber otro!).

[LauraLopez]

Re: varilla que rota

con respecto a la formula, de la que yo hablo y que es la que trate de usar es $a_c = \gamma R$

donde a_c es la aceleracion del centro de masa, y no la aceleracion centripeta. Esta formula tengo entendido que es asi para todo cuerpo rodante sin deslizar.
Mi pregunta es si para este ejercicio era valida el usar esta formula... o si la misma unicamente es valida cuando hablamos de cuerpos rodantes que no deslizan.

Vos te referis a otra formula que es la de la aceleracion centripeta que a decir verdad me estoy confundiendo mucho con el como es la forma de resolver este ejercicio..... creo que hasta donde tengo bien es no mas hasta cuando encontre la aceler angular que es :

$\gamma = \frac{3F \sin \theta}{ML }$ hasta ahi esto esta bien no?

Luego no puedo usar la formula de la aceleracion del cm que yo decia creo...sino que tengo que usar la de la aceleracion centripeta?

Y luego no veo como plantear newton.....R no es horizontal en el eje x? no se como dibujarlas en el diagrama para asi plantear la segunda ley

[arivasm]

Re: varilla que rota

Primero, no tienes un cuerpo rodante. Pero incluso en los cuerpos rodantes la aceleración de cualquiera de sus puntos tiene ambas componentes, tangencial y centrípeta. Aquí el cdm también tiene ambas componentes. La razón es tan simple como que se trata de un concepto general!

En resumen, $\gamma R$ es la aceleración tangencial (es decir, perpendicular a la barra) de cualquier punto de la barra, no sólo el cdm; sólo hay que aplicar a cada uno el R (distancia a O) que corresponda (por supuesto, porque al tratarse de un sólido rígido, todos los puntos compartirán la aceleración angular).

La expresión que pones para la aceleración angular es la misma que encuentro yo. Repito que con ella podemos encontrar la aceleración *tangencial* del cdm. Para encontrar la centrípeta hay que integrar la ecuación diferencial

$$\dst\gamma=-\ddot \theta=\frac{3F}{ML}\sin\theta$$

(el signo menos es porque el ángulo $\theta$ disminuye con el movimiento de la varilla).

Por cierto que la integración es muy complicada si quisiésemos llegar a $\theta(t)$. Pero el hecho es que en realidad nos basta con conocer la velocidad angular $\omega=-\dot\theta$. De esta manera, interpretaremos (1) como

$$\dst\frac{\dd\omega}{\dd t}=\frac{3F}{ML}\sin\theta$$

siendo nuestro objetivo conocer $\omega(\theta)$. Para ello escribimos (2) como

$$\dst\frac{\dd\omega}{\dd \theta}\frac{\dd\theta}{\dd t}=-\frac{\dd\omega}{\dd \theta}\omega=-\frac{1}{2}\frac{\dd \omega^2}{\dd \theta}=\frac{3F}{ML}\sin\theta$$

Así, integrando y teniendo en cuenta que parte del reposo y de $\theta=\pi/2$, tenemos que

$$\dst\omega^2=\frac{6F}{ML}\cos\theta$$

Por tanto, la aceleración del cdm tiene estas dos componentes:

• Tangencial: $\dst a_t=\frac{1}{2}\frac{F}{M}\sin\theta$
• Centrípeta: $\dst a_c=\frac{F}{M}\cos\theta$

Para terminar el ejercicio hay que aplicar la 2ª ley de Newton, teniendo en cuenta que ambas componentes proceden de las fuerzas F y R, teniendo en mente que cuando F forma un ángulo $\theta$ con la varilla R formará otro diferente, $\beta$.

Si me permites, escribiré cómo lo seguiría yo. Aplicando dicha ley a las componentes tenemos que

• Tangencial: $\dst M a_t=\frac{1}{2}F\sin\theta=F\sin\theta-R\sin\beta$
• Centrípeta: $\dst M a_c=F \cos\theta = R \cos\beta - F \cos\theta$

De esas dos expresiones tenemos que

$$\dst R \sin\beta=\frac{1}{2}F\sin\theta$$

$$\dst R \cos\beta = 2 F \cos\theta$$

Elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro

$$\dst R^2=F^2\left( \frac{1}{4}\sin^2\theta+4\cos^2\theta\right)=F^2\left( 4-\frac{15}{4}\sin^2\theta\right)$$

Es muy sencillo ver que el máximo corresponde a $\sin\theta=0$, es decir, $\theta=0$ (lo que significa que se corresponde a cuando la varilla tiene la dirección de F), y que además es $R=2F$.