Otras carreras frecuencias naturales

[LauraLopez]

Hola chicos alguna ayuda de como se resuelve este?

Gracias!

[arivasm]

Re: frecuencias naturales

Mmm. Responderé con algo de miedo a equivocarme.

En primer lugar tenemos que la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda es $\dst c=\sqrt{\frac{T}{\mu}}$.

Por otra parte, los modos normales de vibración de la cuerda serán aquellas ondas estacionarias que tengan un nodo en el extremo izquierdo y un antinodo en el derecho. De esta manera, el primer modo tendrá una longitud de onda 4l (recordemos que la distancia entre nodos y antinodos es un cuarto de longitud de onda). Para encontrar el segundo mejor pensamos en una onda estacionaria de longitud menor que la anterior cuya segunda "barriga" coincida con l: esta última estará a una distancia $l=(3/4)\lambda$, luego $\lambda=\frac{4}{3}l$. En el siguiente tendremos que $l=(5/4)\lambda$, etc.

Así pues, los diferentes modos cumplen que $\dst l=\frac{2n-1}{4}\lambda_n$, con n=1,2,etc. de donde $\dst\lambda_n=\frac{4}{2n-1}l$.

Una vez que conocemos las longitudes de onda, las frecuencias correspondientes las tenemos con $\dst f_n=\frac{c}{\lambda_n}$. Por tanto, juntando todo lo anterior, la respuesta será $\dst f_n=\frac{2n-1}{4l}\sqrt{\frac{T}{\mu}}$

[escarabajo]

Re: frecuencias naturales

Hola.

Lo que me suena raro de tu planteo, arivasm, es que no hay ninguna condición que impongas sobre el extremo derecho de la cuerda, donde hay una masa y un resorte que se unen a la cuerda y que creo cambian las frecuencias

Es un tema que yo tengo algo olvidado, pero la manera en la que yo lo resolvería, sin detallar demasiado cómo porque no lo tengo fresco, sería planteando una solución estacionaria al problema de ondas imponiendo las correspondientes condiciones de borde:

1)Que el extremo izquierdo está fijo para todo tiempo.
2)Aplicar Newton sobre la masa m del extremo derecho y de ahí obtener una ecuación que nos vincule la frecuencia con los parámetros del problema.

Una solución genérica del problema de ondas estacionarias es

$\displaystyle q(x,t)=(Asen(kx)+Bcos(kx))cos(wt+\phi)$


Saludos.

[arivasm]

Re: frecuencias naturales

Sí, tienes toda la razón. Lo que he escrito serían los modos de vibración de la cuerda, pero sin tener en cuenta la masa y el resorte. Como dije, contestaba con muchas dudas.

[escarabajo]

Re: frecuencias naturales

Sí, tienes toda la razón. Lo que he escrito serían los modos de vibración de la cuerda, pero sin tener en cuenta la masa y el resorte.

Exacto. De hecho, en ese caso, lo que impondriamos a la solución que di es:

1)Extremo izquierdo fijo
2)Derivada respecto de x nula en el extremo derecho.

La primer condición es evidente. La segunda, como en el extremo derecho no tendriamos ninguna fuerza sobre la cuerda, entonces, si aplicaramos Newton sobre un pedazito del extremo de la cuerda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Puesto que la masa es casi "nula", y en la dirección vertical entonces no puede haber componente de la tensión, necesariamente en ese extremo la cuerda se mantiene horizontal.

De la primer condición nos sale:

$B=0$

De la segunda:

$\displaystyle cos(kl)=0 \Rightarrow kl=\frac{(2n-1)\pi}{2} \Rightarrow k=\frac{(2n-1)\pi}{2l}$

Usando que

$\displaystyle k=\frac{w}{v}=\frac{2\pi f}{v}$

Llegamos a tu resultado

$\displaystyle f_n=\frac{2n-1}{4l}v$


Ahora, bien, con la condición de la masa y el resorte en el extremo derecho, tendriamos que aplicar Newton sobre m.

Sobre m actúan 3 fuerzas, la tensión de la cuerda, el resorte, y su peso.

La aceleración de la masa m está dada por el movimiento de la cuerda en x=l:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

La fuerza del resorte vendrá dada en función también de la distancia que se eleva el extremo. Le llamo R a la constante del resorte para distinguirlo de k de la onda

$\displaystyle -Ry=-Rq(L,t)$

Y la tensión de la cuerda está dada en función también de una de las derivadas de q(x,t)

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Aplicando Newton sobre m, si consideramos que el extremo se mueve hacia arriba tenemos

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Esto hay que tomarlo con "pinza", que hace dos o tres años que di estos temas. Estuve vichando algunos apuntes, pero, puede contener algún error. Lo que nos va a quedar acá posiblemente sea una ecuación para las frecuencias y quizas no sea posible despejar explicitamente una fórmula para la misma.

¿Te suena ésta forma de resolver el problema LauraLopez?

Saludos.