Otras carreras Ejercicio con coordenadas cilindricas

[werek]

Hola a todos , bueno soy nuevo en este foro y tengo unas cuantas dudas sobre mecanica y ejercicios con coordenadas polares y cilindricas . Bueno primero que todo todavia no tengo muy claro como interpretar bien los ejes de las coordenadas cilindricas y por lo tanto me cuesta entender de donde salen las ecuaciones de movimiento. Sé que una ecuacion quedaria algo asi:



la demas nose como quedarian la que corresponde a los demas ejes . Se como queda el coeficiente de viscosidad ya que al reemplazando la ecuacion de velocidad en cooordenadas cilindricas queda Fr = -c(R\theta punto \theta tongo + z punto z tongo). La otras ecuaciones nose como quedan y la verdad es que no solo quiero que me digan como quedarian esas ecuaciones, sino por que para poder entender el ejercicio y no solo saber la respuesta , de antemano gracias .

[ZYpp]

Re: Ejercicio con coordenadas cilindricas

Bueno, las ecuaciones del movimiento las obtenemos de

$$\vec F=\frac{\dd \vec p}{\dd t}$$

y las fuerzas que actúan en el sistema a analizar (la partícula) son el peso $\vec P =m \vec g$ y la fuerza de rozamiento $\vec F_r = -c \vec v$, por tanto las ecuaciones del movimiento quedan como

$$m \vec g - c \vec v +\vec N= m \vec a$$

ya que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Interesa conocer la expresión de $\vec v$ y $\vec a$. Aquí es imprescindible saber interpretar las coordenadas cilíndricas. Si no tienes muy claro cómo interpretarlas, mejor repasa un poco la teoría antes de seguir con esto. De todas formas, de forma resumida se puede decir que las coordenadas cilíndricas ${r,\theta,z}$ son respectivamente la distancia al eje de revolución del cilindro, el ángulo que se forma con el eje cartesiano $Ox$ y la altura. Una vez dicho esto, como el movimiento de la partícula se realiza en la superficie de un cilindro sabemos que la primera coordenada va a ser constante, así que pasamos a obtener la aceleración.

$$\vec r = R \hat u_r + z\hat k$$

$$\vec v = \frac{\dd \vec r}{\dd t} = R \frac{\dd \hat u_r}{\dd t}+\frac{\dd z}{\dd t}\hat k=R \frac{\dd \hat u_r}{\dd \theta}\frac{\dd \theta}{\dd t} +\dot z \hat k= R\dot \theta \hat u_\theta + \dot z \hat k$$

$$\vec a = \frac{\dd \vec v}{\dd t} = R\left[\frac{\dd \dot \theta}{\dd t}\hat u_\theta + \dot \theta\frac{\dd \hat u_r}{\dd t}\right]+\frac{\dd \dot z}{\dd t}\hat k=R\left[ \ddot \theta \hat u_\theta - \dot \theta ^2 \hat u_r \right] + \ddot z \hat k$$

Y con esto ya podemos escribir las ecuaciones del movimiento, sabiendo que $\vec g = -g \hat k$ y que $\vec N=-N\hat u_r$. Por comodidad escribiré las ecuaciones desacopladas en sus componentes directamente:

$$-N = -mR\dot \theta ^2$$

$$-cR\dot \theta = mR\ddot \theta$$

$$-mg -c\dot z = m\ddot z$$

Saludos.

[juantv]

Re: Ejercicio con coordenadas cilindricas

Disculpa una pregunta (quiza "tonta" ), si tenemos un objeto sobre un plano inclinado actúa una fuerza normal $\dst F_n = mg \cos \alpha$. mi pregunta es si inclinamos el plano hasta 90° (como una pared) entonces la fuerza normal valdrá cero $\dst F_n = mg \cos \alpha = mg \cos 90\° = 0$. porque la normal vale cero si el cuerpo esta apoyado sobre la pared? cual es la diferencia en este caso (ya se que el ejercicio dice que es lanzada en contacto con la pared , pero ... : / )?

Gracias

[werek]

Re: Ejercicio con coordenadas cilindricas

Muchas gracias por responder , toda la primera parte me quedo clarisima de como salieron las ecuaciones de aceleracion y velocidad hasta ahí voy perfecto ya que como el R es constante la primera y segunda derivada sera cero por lo tanto ese R lo reemplazamos en dichas ecuaciones . Ahora la duda que me quedo es la siguiente , las coordenadas cilindricas siempre se ponen con respecto al centro del cilindro o con respecto a la particula?, y otra cosa tu dices que la primera coordenada va a ser constante claro por que el radio desde donde se situa la particula al centro del cilindro siempre va a ser la misma o no? , y tambien en la segunda coordenada $\theta$ por que queda $-cR\dot\theta$ y en la tercera ecuacion tampoco entendi por que queda $-mg-c\dot z$, esas son mis dudas lo demas me quedo clarisimo.

Saludos

[ZYpp]

Re: Ejercicio con coordenadas cilindricas

Antes de nada decir que había una errata en el primer comentario (que voy a corregir ahora mismo), el peso de forma vectorial se escribe sin el menos: $\vec P=m\vec g$. El signo negativo aparece al sustuir $\vec g = -g\hat k$. Disculpen las molestias.

juantv, en este caso la fuerza normal a la pared vale, como se ve en la primera ecuación del movimiento,

$$N=mr\dot \theta ^2$$

Si tenemos en cuenta que la componente normal de la velocidad es $v_n=r\dot \theta$, entonces la reacción normal toma la forma

$$N=m\frac{v_n^2}{r}$$

que quizás te suene más. Esta fuerza es la aceleración centrípeta que sufre la partícula. Una partícula en ausencia de fuerzas sigue un movimiento rectilíneo uniforme (como caso particular también puede estar parada), sin embargo en nuestro problema sigue trayectorias circulares. ¿A qué se debe esto? Pues precisamente a la que pared está continuamente desviando la partícula, es decir, ejerciendo una fuerza normal a su movimiento que es precisamente la reacción normal $\vec N$. Digamos que la pared actúa como un hilo atado al eje del cilindro.

werek, el sistema de referencia lo tomas donde quieras. Las ecuaciones del movimiento estarán referidas a ese sistema de referencia, pero el movimiento real debe ser el mismo sea cual sea el sistema de referencia que elijas, esto es, las ecuaciones del movimiento deben ser equivalentes en un sistema que en otro. En nuestro caso cogimos el sistema de referencia ligado a la base del cilindro, con el vector $\hat k$ coincidiendo con el eje de revolución. ¿Por qué se tomó este sistema? Pues porque en este sistema, la primera coordenada es constante, $r=R$.
También podría tomarse otro sistema de referencia, por ejemplo ligado a la partícula. En este caso no habría aceleración, puesto que el sistema de referencia se mueve siempre solidario a la partícula. Vaya, dicho así parece muy conveniente usar este sistema de referencia, ¿por qué no se hizo? Pues porque en este sistema, por ser un sistema no inercial (por estar acelerado) no se cumplen las leyes de Newton. Tendríamos que modificarlas e incluir ciertas fuerzas de inercia para obtener las ecuaciones del movimiento reales.
En resumidas cuentas, que elijas el sistema de referencia que te resulte más cómodo. Cuando empieces a escribir el vector posición, el vector velocidad y el vector aceleración verás tú mismo que, a menos que se elija un buen sistema de referencia, te van a aparecer cosas complicadísimas.

Bien, llegamos al final. Para las ecuaciones del movimiento, después de escribir la fuerza, velocidad y aceleración en la base cilíndrica, obtenemos lo siguiente:

$$\vec g=-g\hat k$$

$$\vec N=-N\hat u_r$$

$$\vec v = R\dot \theta \hat u_\theta + \dot z\hat k$$

$$\vec a = -R\dot \theta ^2 \hat u_r + R\ddot \theta \hat u_\theta + \ddot z \hat k$$

Lo que se hace ahora es sustituir eso en la ecuación del movimiento que obtuvimos al principio: $-m\vec g -c\vec v +\vec N = m\vec a$ pero, como es una ecuación vectorial, corresponde en realidad a tres ecuaciones escalares. Lo que hice fue directamente escribir las tres ecuaciones escalares que son la ecuación en la dirección de $\hat u_r$, la ecuación en la dirección de $\hat u_\theta$ y la dirección en la dirección de $\hat k$ respectivamente. Escribiré ahora otra vez la tercera, que es la que más términos tiene:

Volvemos a la ecuación del movimiento $m\vec g -c\vec v +\vec N = m\vec a$ y escribimos esa misma igualdad pero sólo en la dirección de $\hat k$. De forma que tenemos $m\vec g = -mg \hat k$, $-c\vec v= -c\dot z \hat k$ y $m\vec a=m\ddot z \hat k$. Nótese que no hemos escrito las demás componentes ni de la velocidad ni de la aceleración, sólo las componentes en la dirección vertical. Ahora no queda más que escribir la ecuación del movimiento pero con esos términos:

$$-mg -c\dot z = m\ddot z$$

$\vec N$, al no tener término en $\hat k$, no aparece en la ecuación. Lo mismo se hace con las demás componentes.

Saludos.