2o ciclo Problema de muelle en un m.a.s.

[siuxoes]

Hola es la primera vez que escribo aquí, y lo hago por un problema que tengo, nunca mejor dicho, que resolver, aquí va:

Una masa de 2 kg cuelga de un muelle. Debido a ello, éste se deforma 10 cm. Si se separa ahora otros 10 cm y se deja en libertad, calcular:

• La frecuencia angular y la frecuencia.
• La amplitud en los instantes para los que la velocidad cambia de sentido.

Aquí es lo que llevo hecho:

F= -k . x ->
m . g = -k . x ->
2 kg . -9,8 m/s²=-k . 0,1 m ->
$k= \frac{2 . 9,8}{0,1 }= 196 \frac{K}{m}<br />$
$k= \omega[SUP]2[/SUP]. m-><br />$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m }}= 7\sqrt{2} rad/s$

$T= 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}<br />$T=0,63 s

$f= \frac{1}{T }= 1,59 Hz<br />$
Esto es lo que llevo hecho, me falta el segundo apartado del cuál no tengo ni idea de como empezar, además no se si la \omega y f están bien calculados.

Espero que me puedan ayudar, gracias

[arivasm]

Re: Problema de muelle en un m.a.s.

Aparentemente está correctas (no hice números, sólo he visto cómo has hecho el cálculo), aunque me preocupa que puedas liarte con el uso de las componentes (es decir, los signos - que pones en tus expresiones).

Con respecto al apartado b) la amplitud de la oscilación es simplemente los (segundos) 10 cm que te dicen que se separa de la posición de equilibrio y se deja en libertad. La razón está en la conservación de la energía: ése punto siempre será de retroceso (v=0) y está a 10 cm de la posición de equilibrio.

[siuxoes]

Re: Problema de muelle en un m.a.s.

Muchas gracias por responder, ya arreglé (creo) lo del signo -.

Y te pediría si puedes por favor, explicarme el apartado b, es que no entendí del todo tu explicación.

Gracias.

[arivasm]

Re: Problema de muelle en un m.a.s.

Imagínate el sistema masa-resorte colgando y parado en el punto de equilibrio. Tiramos de él 10 cm hacia abajo (es decir, lo llevamos a una posición con 10 cm de elongación) y soltamos (partiendo del reposo). A partir de ahí sólo actúan fuerzas conservativas. ¿Qué sucederá cuando vuelva a pasar por esa misma posición, de 10 cm de elongación?. Como la suma $\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mv^2$ se mantiene constante, si antes tenía v=0 ahora volverá a tener v=0 en ese lugar. Eso significa que es un punto de retroceso, y entonces que la elongación correspondiente es igual a la amplitud de la oscilación. Por supuesto, también habrá otro punto de retroceso a 10 cm del punto de equilibrio, pero por encima de éste (de nuevo lo podemos razonar a partir de la conservación de la energía, haciendo v=0; encontraremos que deberá ser $x=\pm 10\;\rm cm$).

[siuxoes]

Re: Problema de muelle en un m.a.s.

Muchas gracias, ahora lo entendí perfecto. Creo que ya tengo el problema resuelto, muchas gracias de nuevo!!

[Breogan]

Re: Problema de muelle en un m.a.s.

Hola:

Perdón por intervenir, pero creo que en el planteo de la conservación de la energía falta tener en cuenta la energía potencial de la masa, ya que esta colgado la energía potencial en los extremos de la oscilación sera distinta. Sin hacer cuentas creo que la oscilación no debe ser simétrica Puede ser?

Suerte

[arivasm]

Re: Problema de muelle en un m.a.s.

Aunque es cierto que la partícula está sometida a dos fuerzas conservativas, el peso y la de Hooke, lo que en principio obligaría a incluir ambos términos de energía potencial, como veremos, podemos considerar que el efecto de la gravedad consiste simplemente en desplazar la posición de equilibrio desde aquélla en la que la longitud del resorte es igual a su valor natural hasta la que se corresponde con que la fuerza de Hooke sea igual al peso de la masa.

Es decir. Si no usamos este segundo enfoque, la energía potencial será

$$\dst U=m g h + \frac{1}{2}k(l-l_0)^2$$

donde, por supuesto, hemos de elegir un h=0 y se ha tomado el cero de la energía potencial elástica en la situación correspondiente al resorte con su longitud natural $l_0$.

Consideremos ahora la posición de equilibrio del sistema. En ella la longitud del resorte. $l^*$ será tal que

$$k(l^*-l_0)=mg$$

Una vez que el sistema oscile, las elongaciones del MAS correspondiente serán

$$x=l-l^*=(l-l_0)-(l^*-l_0)$$

Por tanto, en el término de energía potencial elástica de (1) tenemos que

$$\dst l-l_0=x+(l^*-l_0)=x+\frac{mg}{k}$$

de manera que la energía potencial (1) puede escribirse

$$\dst U=mgh+\frac{1}{2}kx^2+mgx+\frac{1}{2}\frac{m^2 g^2}{k}$$

Si elegimos el cero de la energía potencial de manera que se corresponda con la posición de equilibrio, deberemos tomar el $h=0$ de manera que $U=0$ cuando $x=0$. Es decir, bastará con que la altura de la posición de equilibrio, $h^*$, sea

$$\dst h^*=-\frac{1}{2}\frac{m g}{k}=-\frac{1}{2}(l^*-l_0)$$

lo que equivale a decir que el $h=0$ deberá elegirse justo a medio camino entre la posición de equilibrio y aquélla en la que el resorte posee una longitud igual a la natural.

Con esa elección, la altura correspondiente a una elongación arbitraria será

$$\dst h=h^*-x=-\frac{1}{2}\frac{m g}{k}-x$$

de manera que (5) se convierte en

$$U=mg\left(-\frac{1}{2}\frac{m g}{k}-x\right)+\frac{1}{2}kx^2+mgx+\frac{1}{2}\frac{m^2 g^2}{k}=\frac{1}{2}kx^2$$

es decir, exactamente igual que si no hubiese gravedad y, como dije antes, el efecto de ésta haya consistido simplemente en desplazar el punto de equilibrio.

Por cierto, el movimiento será simétrico alrededor de dicho punto.

[Breogan]

Re: Problema de muelle en un m.a.s.

Hola:

Creía que este tema lo tenia lo suficientemente claro, pero esto me demostró que no.
Gracias arivasm por responder, pero te comento que pese a leerlo varias veces me perdí igual cantidad de veces, por lo cual realice mi propio análisis, me surgieron otras dudas y espero que me orienten.

Primero halle la ecuación del movimiento del sistema, para verificar que se trataba de un MAS. Eje "y" vertical hacia arriba con el cero en el punto donde el resorte tiene su longitud nominal.

$\dst \vec {F}=m.\vec{a} \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}$

$\dst \vec{a}=a\hat{\jmath}=\frac{(-ky-mg)}{m}\ \ \hat{\jmath}\ \ \Rightarrow \ \ a=-\frac{k}{m} y-g$

$\dst\frac{d^2y}{dt^2}+\frac{k}{m}y+g=0$

En las coordenadas elegidas, la ecuación diferencial obtenida no es homogénea. Para transformarla se hace el siguiente cambio de coordenadas:

$y=y'-y_r$

$\dst\frac{d^2(y'-y_r)}{dt^2}+\frac{k}{m}(y'-y_r)+g=0$

$\dst\frac{d^2y'}{dt^2}+\frac{k}{m}y'-\frac{k}{m}y_r+g=0$

Si ahora hacemos:

$\dst y_r=\frac{mg}{k}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \frac{d^2y'}{dt^2}+\frac{k}{m}y'=0$

Es decir que para la variable y' la ecuación diferencial es homogénea, y el movimiento es un movimiento oscilatorio simple alrededor del punto de equilibrio del sistema. Con el cambio de coordenadas el origen del eje "y' " coincide con el extremo del resorte cuando el sistema esta en equilibrio.

Lo mismo se puede plantear por energia, para el eje original "y" tenemos:

$\dst E_t=\frac {1}{2}ky^2+mgy+\frac{1}{2}mv^2$

$\dst 0=\frac{1}{2}k\ 2\ y\ \frac{dy}{dt}+mg\frac{dy}{dt}+\frac{1}{2}m\ 2\ v\ \frac{dv}{dt}$
\
$\dst 0=ky+mg+m\frac{d^2y}{dt^2}$ que es el mismo resultado del apartado anterior.

Ahora viene la parte en que se me complica, que es el balance de la energía potencial.
Mañana se las paso...

Suerte