Otras carreras Coeficientes de fricción variables.

[Masakre]

Es el primer mensaje de consulta que escribo en el foro.
Discúlpenme si no estoy creando el hilo en el foro adecuado.

Espero que puedan ayudarme con este ejercicio del libro de Sears Zemansky - Capítulo 6 (12º edición).
[Imagen como archivo adjunto]

En realidad, yo me he estado apoyando de un solucionario en inglés. Pero como que no lo entiendo mucho esta vez.
Yo estudio Ingeniería de Sistemas, y pues, me siento algo culpable de haber dedicado más horas a mis demás asignaturas y muy pocas para física. Quizás por eso estoy muy desorientado ahora mismo (digamos que la primera unidad la he aprobado con algo de suerte).
Creo que todos sin excepción desarrollamos los ejercicios propuestos (como tarea) con ayuda de dicho solucionario. Incluso, un buen número, "copia" casi exactamente lo que dice el solucionario (traduciendo cada uno a su manera). Otros desarrollan y llegan a las respuestas correctamente a su manera, según lo que aprendieron antes de ingresar a estudiar. Yo no imagine que esto llegara a ser tan confuso para mí (considerando que tuve una antesala como ellos), quizás sea porque el profesor en clase nos demuestra cómo es que se originan las fórmulas con integrales y diferenciales pero no desarrolla ejercicios.
Lo sé, me han dicho que eso es lo que hacen los docentes, y que se supone, los alumnos ya deberíamos casi casi dominar estos temas.
De seguro que no es tan difícil, pero el problema que tengo es que no llego a comprender ciertos conceptos, y por lo menos, no entiendo mucho ahora el libro de Sears Zemansky (lo tengo en virtual).
Bueno, espero que puedan recomendarme documentación más sencilla, o en todo caso, ayudarme a entender el problema . . .

Para el inciso (a):
Según el teorema trabajo-energía se tiene:
$W_{TOT} = \Delta K = K_{2} - K_{1}$
(La energía cinética de la partícula varía en una cantidad igual al trabajo total realizado por todas las fuerzas que actúan sobre ella)
Pero de pronto en el solucionario muestra:
$-\int\mu_{K}mgdx = 0 - (1/2) * m * (v_{1})^{2}$
Lo que entiendo es que $K_{2}$ es cero porque la energía cinética es nula cuando la caja se detiene, y que
$K_{1} = (1/2) * m * (v_{1})^{2}$
por definición de la energía cinética (bueno, en el libro de Sears Zemansky exponen esta ecuación en una partecita que dice 'resumen', aunque realmente no sabría por qué se cumple esta igualdad).
En la breve explicación que se da en el libro dice:

"La energía cinética K de una partícula
es igual a la cantidad de trabajo necesario para acelerarla
desde el reposo hasta la rapidez v. También es igual al
trabajo que la partícula puede efectuar en el proceso de
detenerse."

Creo que más o menos puedo darle sentido a esto, pero no llego a comprenderlo del todo. Si tan sólo llegara a verlo como algo lógico, todo sería menos complejo

En el primer miembro de la ecuación el trabajo total fue reemplazado por $-\mu_{K}mg$
Más o menos tratando de hacer un retroceso para ver de dónde viene eso, creo que $mg$ viene a ser equivalente al 'peso' de la caja, y que este es en realidad la 'normal' (o por lo menos así es en otros tantos ejercicios, ya que no hay otras fuerzas además del peso). Entonces se tendría $-\mu_{K}N$
Pero el producto del 'coeficiente de fricción cinética' con la fuerza 'normal' es en realidad la 'fuerza de fricción cinética'.
Entonces para este caso, ¿es correcto decir que el trabajo total viene a estar determinado por la negación de la 'fuerza de fricción cinética'?
No entiendo mucho esta parte . . .

Agradezco de antemano las respuestas aclaratorias que puedan darme, y disculpen si he usado mal Latex (es la primera vez y he tratado de usar convenientemente las formulitas para cada operador y simbolito).

[escarabajo]

Re: Coeficientes de fricción variables.

Hola.

A ver si puedo ordenar y aclarar las ideas.

Antes que nada, la fuerza de fricción entre dos superficies que deslizan entre si se calcula como:

$\displaystyle f=N\mu _k$

Donde $\mu _k$ es el coeficiente de fricción dinámico y $N$ es la fuerza de apoyo o perpendicular al plano que contiene a esas superficies. En este caso, la caja, desliza horizontalmente y estamos hablando que N es la fuerza normal que comunmente se le llama en estos casos. Es igual al peso de la caja. (repito, en este caso...). Por lo tanto la fuerza de fricción es

$\displaystyle f(x)=mg\mu _k(x)$

Notá que explicité la dependencia de la variable x, porque esta fuerza depende de la posición a partir del punto P que menciona la letra.

El trabajo de una fuerza $F$ a lo largo de un desplazamiento de A a B se calcula como:

$\displaystyle W_F=\int _{A}^{B}F(x)dx$

Si la fuerza es constante simplemente se multiplica su módulo por el desplazamiento total, pero en este caso la fuerza de fricción es variable según la posición. Además, lleva signo negativo por ser opuesto al desplazamiento.

Quizas todo eso lo tenias claro, pero igual queria comentarlo.

Vamos al teorema del trabajo y la energía.

$\displaystyle W_{tota}=E_{c}^{final}-E_{c}^{inicial}$

El trabajo de todas las fuerzas es igual a la variación de energía cinética del objeto. Esto quiere decir que, cada fuerza que actúa sobre un objeto, va a contribuir en algo a su movimiento, y por ende a su velocidad. Va a aportar o quitar energía, o puede incluso no aportar nada si su trabajo es nulo(una fuerza que actúa perpendicular al movimiento por ejemplo sólo desviaria el objeto y no lo aceleraría o des-aceleraria).

Otra forma de ver el teorema es:

$\displaystyle W_{tota}+E_{c}^{inicial}=E_{c}^{final}$

Si consideramos que inicialmente está en reposo, entonces:

$\displaystyle W_{tota}=E_{c}^{final}=\frac{1}{2}mv^2$

Entonces simplemente, la energía cinética de esa particula es igual a la cantidad de trabajo que hay que hacer para acelerarla hasta una velocidad v. Es una forma de definir esa energía. ¿Por qué la fórmula? Por la ley de Newton sabes que:

$\displaystyle F_{neta}=ma=m\frac{dv}{dt}$

El trabajo neto de una particula entonces es:

$\displaystyle \int _{A}^{B}F_{neta}dx=\int _{A}^{B}m\frac{dv}{dt}dx$

Si tenes algunos conocimientos de integrales podras comprender el siguiente cambio de variables:

$\displaystyle dx=vdt$

Entonces:

$\displaystyle W_{neto}=\int _{A}^{B}m\frac{dv}{dt}dx=\int _{v_A}^{v_B}mv dv=\frac{1}{2}mV_B^2-\frac{1}{2}mV_A^2$

Y tenemos entonces ahí el teorema del trabajo y la energía. Esto es anecdótico para que veas de donde sale la fórmula....dado que decis que no sabes de donde lo sacan.


Para el caso puntual de tu ejercicio tenemos que la energía final es nula pues la caja se detiene, e inicialmente, cuando llega al punto B, tiene una cierta velocidad v:

$\displaystyle E_{c}^{final}-E_{c}^{inicial}=-\frac{1}{2}mv^2$

Nota que la variación de energía cinética es negativa, es decir, la energía disminuye, por lo tanto el objeto está perdiendo energía, y por lo tanto el trabajo neto debe ser negativo. Otra lectura es que tiene que haber una fuerza neta que sea contraria al desplazamiento y que esté realizando un trabajo total negativo, si no, la caja debería acelerar y no des-acelerar.

Las fuerzas que hay en el problema son tres: Peso, normal y fricción. Las dos primeras realizan trabajo nulo por ser perpendiculares al desplazamiento. La fricción realiza trabajo, y su valor es

$\displaystyle -\int _{x_0}^{x_f}f(x)dx=-\int _{x_0}^{x_f}mg\mu _k(x)dx=-\frac{1}{2}mv^2$

Concluimos que

$\displaystyle \int _{x_0}^{x_f}mg\mu _k(x)dx=\frac{1}{2}mv^2$

Es decir, toda la energía cinética que tenía la caja al principio se perdió a causa del trabajo realizado por la fricción.

Podes obtener la función $\mu _k(x)$ a partir de los datos de letra. No sé si tenes duda en como obtener eso o si era más la duda física.

Cualquier duda, volve a preguntar.

Saludos.