2o ciclo Duda con cinemática, el vector normal a la trayectoria!

[rgroburo]

Buenas miren mi duda reside en un problema en el cual me dan la ecuacion de la trayectoria:
r(t)=(t^2 , (t^2 )/2 , (t^2 )/3) y me piden el vector normal a la trayectoria para t=1seg

Yo lo que he razonado es que el producto escalar entre el vector normal que defino n= (x,y,z) y la trayectoria debe ser cero para t=1
Y del mismo modo el vector normal debe ser perpendicular al vector tangente a la trayectoria ( que es el vector velocidad) luego obtengo dos ecuaciones:

Como v=(1,1,1)

(1) v*n = x+ y/2 + z/3=0
(2) r*n = x +y +z=0

Pero me falta una ecuación para resolver no? de donde la obtengo? o este no es el camino adecuado?
Gracias de antemano. Un saludo

[arivasm]

Re: Duda con cinemática, el vector normal a la trayectoria!

Ciertamente, hay infinitos vectores que son normales a la trayectoria. Por tanto, el enunciado no es demasiado correcto.

Quizá sea porque te están pidiendo el vector *aceleración* normal. ¿Es así?. En tal caso, lo que debes hacer es determinar el vector aceleración, proyectarlo contra la velocidad para obtener el vector aceleración tangencial y, finalmente, restarle a la aceleración la aceleración tangencial.

[rgroburo]

Re: Duda con cinemática, el vector normal a la trayectoria!

Si arivasm, se refiere al vector normal (n) que esta presente en la descomposición de la aceleración en su vector tangente y normal, es decir:
Aceleracion total(tiempo) = Atangencial * t(t equivale al vector tangente ) + Anormal * n(n equivale al vector normal)

Pero no entiendo muy bien eso de proyectar y lo de vector aceleración tangencial te refieres a la t que he puesto arriba? porque la aceleración normal y tangencial son simplemente escalares no vectores no? Entonces como obtengo en la ecuación que he puesto arriba n?

Gracias por tu ayuda arivasm y perdona por no entenderte a la primera.

[arivasm]

Re: Duda con cinemática, el vector normal a la trayectoria!

En primer lugar, te recomiendo que le eches un vistazo a la introducción ecuaciones en los mensajes.

Los escalares a los que te refieres son las componentes de la aceleración. Cuando yo te hablo de vectores estoy refiriéndome a los sumandos, es decir, $\vec a=\vec a_t+\vec a_n$.

Yendo al ejercicio, o bien te has equivocado al escribir la ecuación de movimiento, o bien la solución es que no hay tal $\hat n$. Como la velocidad es $\vec v(t)=(2t,t,3t/2)$, la aceleración será $\vec a(t)=(2,1,3/2)\;\rm m/s^2$. Por tanto, para t=1 s resulta que ambos vectores son paralelos, pues son $\vec v=(2,1,3/2)\;\rm m/s$ (y no lo que has escrito) y $\vec a(t)=(2,1,3/2)\;\rm m/s^2$. Por tanto, la aceleración normal es nula y, evidentemente, no hay ningún vector unitario que tenga la misma dirección y sentido que un vector nulo.

En un caso general, el problema se resuelve de este modo: a partir de $\vec r(t)$, derivando, se encuentra $\vec v(t)$. Derivando de nuevo encuentras $\vec a(t)$. Una vez que has substituido el valor de t tendrás la velocidad y aceleración correspondientes a dicho instante.

Recuerda que la proyección de un vector, $\vec a$, sobre otro, $\vec v$, es $\dst a_t=\frac{\vec a\cdot\vec v}{v}$. Como el vector unitario tangente a la trayectoria es $\dst \hat t=\frac{\vec v}{v}$ tenemos que $\dst\vec a_t=\frac{\vec a\cdot\vec v}{v}\,\frac{\vec v}{v}$.

Una vez que tenemos la aceleración tangencial, encontramos la normal usando $\vec a_n=\vec a-\vec a_t$. Finalmente, el vector unitario que te piden sería $\dst\hat n=\frac{\vec a_n}{a_n}$.

[rgroburo]

Re: Duda con cinemática, el vector normal a la trayectoria!

Vale, todo claro arivasm, antes que nada perdona por la notación pero no sabia donde explicaban como escribir matemáticamente en el foro así que gracias por el aporte.

Después decirte que lo siento, pero efectivamente tu buen ojo ha descubierto que el enunciado estaba mal, la última coordenada debería estar elevada a 3 y no a 2, así que siento no haber enunciado correctamente.

Por último decirte que mil gracias por tu ayuda, me ha quedado todo claro.