Otras carreras Dos cuerpos en un plano inclinado

[George Stobbart]

¡Hola!

Llevo intentando este problema unas cuantas horas y no sé resolverlo.

Hay que tener en cuenta las fuerzas F21 y F12 que ejercen el cuerpo a 2 al 1 y viceversa.

Yo llego a un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, y por lo tanto, no puedo sacar esos tres valores que son los que me piden. En una ecuación, la fuerza entre los cuerpos y la aceleración del cuerpo 1; y en la otra, la fuerza entre los cuerpos y la aceleración del cuerpo 2.

Si sabéis cómo avanzar en el problema o dónde me he equivocado en el planteamiento, decídmelo, por favor.

¡Muchas gracias!

[arivasm]

Re: Dos cuerpos en un plano inclinado

Aunque se lee bastante mal la figura, me parece entender que los dos cuerpos pueden, a priori, tener aceleraciones diferentes. De ser así, podría dejar de haber contacto entre ellos, con lo que la fuerza mutua será nula. De lo contrario, si ambos permanecen en contacto, en cuyo caso sí habrá fuerza mutua, la aceleración de los dos será la misma.

Por tanto, como ves, o bien desaparece una de las incógnitas o, si hay contacto, se añade una nueva ecuación (que iguala las aceleraciones).

[George Stobbart]

Re: Dos cuerpos en un plano inclinado

Ahora ya creo que se ve bien.

No he entendido muy bien lo de que la fuerza mutua se anula, te refieres a:

* F₁₂ = F₂₁

Entonces llego a: m_2·g·sen\alpha - \mu₂·g·cos\alpha - m₂·a_{2 =} \mu₁·m₁·g·cos\alpha - m₁·g·sen\alpha + m₁·a₁

Sabiendo \alpha, \mu, g y m de ambos cuerpos. Tengo una ecuacion con dos incógnitas.

* F₁₂ y F₂₁ son iguales a 0.



Muchas gracias por la contestación.

[arivasm]

Re: Dos cuerpos en un plano inclinado

No me refiero a que se cumpla la ley de acción y reacción, que no significa en ningún caso una anulación de la fuerza mutua.

Yo lo resolvería aplicando a cada cuerpo la 2ª ley de Newton (tomo sentido positivo para las componentes de las fuerzas hacia abajo, y llamo F al módulo de la fuerza de contacto entre ambos cuerpos):

• Cuerpo 1: $m_1 a_1 = m_1 g \sin\alpha - \mu_1 m_1 g \cos\alpha + F$
• Cuerpo 2: $m_2 a_2 = m_2 g \sin\alpha - \mu_2 m_2 g \cos\alpha - F$

Hay dos ecuaciones y tres incógnitas: $a_1$, $a_2$ y $F$.

Comentaré antes de nada que el diferente signo delante de F se debe a la ley de acción y reacción: si hay contacto el cuerpo 2 empuja al 1 hacia abajo, mientras que el 1 empuja al 2 hacia arriba.

Ahora caben dos posibilidades:

1. El cuerpo 1 y el 2 se separan, de manera que $F=0$ (no hay contacto entre ellos). Para que ello suceda, puesto que parten del reposo, necesariamente deberá cumplirse que $a_1>a_2$. Por tanto, hago $F=0$ en el sistema anterior y resuelvo, y compruebo si realmente sucede que $a_1>a_2$. Si es así, ya hemos terminado con el caso correspondiente. En caso contrario:
2. El cuerpo 1 y el 2 se mantienen en contacto, de modo que ambos poseen la misma aceleración $a_1=a_2=a$. Traslado esto al sistema anterior y obtengo $a$ y $F$.

[Al2000]

Re: Dos cuerpos en un plano inclinado

Parece extraño que no hayan puesto un caso en el cual el cuerpo 2 empuje al cuerpo 1.

Vale la pena mencionar que, puesto que la gravedad y la inclinación del plano son iguales en todos los casos, la aceleración con la que baja cada cuerpo depende exclusivamente de su correspondiente coeficiente de fricción, de manera que si $\mu_1 \leqslant \mu_2$, los cuerpos bajarán independientemente el uno del otro, mientras que si $\mu_1 > \mu_2$, entonces el cuerpo 2 empujará al cuerpo 1 y bajarán como un solo cuerpo. Esta segunda condición no esta presente en los casos indicados.

Habría que considerar tal vez que en el caso a) el cuerpo 2 no bajará, pues $\mu_2 > \tan 30\° \approx 0.58$ y seguramente el coeficiente estático será aún mayor.

Saludos,

Al

[George Stobbart]

Re: Dos cuerpos en un plano inclinado

Muchas gracias a los dos por vuestras respuestas, me han servido de mucho, especialmente la de arivasm.

En el apartado a), solo se mueve el cuerpo 1.

En el apartado b), se mueve el cuerpo 1 más rápido que el cuerpo 2.

En el apartado c), se mueven ambos cuerpos a la misma aceleración.

En estos tres apartados las F₁₂ y F₂₁ son iguales a 0.

Y hay un cuarto apartado que no lo puse, que es $\mu$₁ = 0,7 y $\mu$₂ = 0,2. Como Al200 comentaba.

En el apartado d), F = 5,7 N y a = 0,4 m/s².

Y otra vez, gracias.