2o ciclo Error en procedimiento?? tiro parabolico

[thekagas]

Buenas, mi problema es el siguiente:

Suponemos que el módulo de la velocidad de un proyectil viene dado por v = kt + v0, siendo k una constante positiva y t el tiempo transcurrido desde que se inició el movimiento. Para simplificar tomaremos como origen del sistema el (0,0). Bien, mi objetivo es determinar cómo varía el vector velocidad tangencial unitario en cada instante, es decir, su ecuación de movimiento. Les indicaré cómo procedo, que a mi parecer no aparenta error alguno:

1) Conozco las componentes intrínsecas de la aceleración, son $\vec{{a}_{t }}=\frac{\mathrm{dv} }{\mathrm{dt} }\hat{{e}_{t }}$ y $\vec{{a}_{n }}=v\frac{\mathrm{d\hat{{e}_{t }}} }{\mathrm{dt} }$ (empleando notación con vectores unitarios)

2) Se que en el tiro parabólico la aceleración total se expresa como $\vec{a}=-k\vec{j}=\vec{{a}_{t }}+\vec{{a}_{n }}$ (la aceleración total solo tiene componente vertical, que corresponde a la gravedad, y la k viene de derivar la velocidad dada respecto al tiempo)

3) Entonces en forma diferencial lo expreso como $\frac{\mathrm{dv} }{\mathrm{dt} }\hat{{e}_{t }}+v\frac{\mathrm{d\hat{{e}_{t }}} }{\mathrm{dt} }=-k\vec{j}$

4) Derivo como indica el primer sumando y sustituyo el módulo de la velocidad en la expresión, con lo que queda $k\hat{{e}_{t }}+({v}_{0 }+kt)\frac{\mathrm{d\hat{{e}_{t }}} }{\mathrm{dt} }=-k\vec{j}$

5) Descompongo el vector unitario tangencial en sus contribuciones en los ejes x e y: $k{e}_{x }\vec{i}+k{e}_{y }\vec{j}+({v}_{0 }+kt)(\dot{{e}_{x }}\vec{i}+\dot{{e}_{y }}\vec{j})=-k\vec{j}$

6) Igualando componentes a uno y otro lado aparecen dos ecuaciones diferenciales, una para cada componente:

$k{e}_{x}+({v}_{0}+kt)\dot{{e}_{x}}=0$
$k{e}_{y}+({v}_{0}+kt)\dot{{e}_{y}}=-k$

7) El resultado comprobado de estas ecuaciones es

${e}_{x }=\frac{{c}_{1 }}{ {v}_{0 }+kt}$

${e}_{y}=\frac{{c}_{ 2}-kt}{ {v}_{0 }+kt}$

que se supone que son las componentes en cada instante del vector unitario de velocidad tangencial. Bien pues la cuestión es: ¿Qué condiciones iniciales tengo que imponer para determinar las constantes c1 y c2? porque si pongo, como condición necesaria que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] que es lo lógico dado que ha de ser unitario, tan solo me queda una expresión enorme sin ninguna información para sacar las ctes. Como he de seguir? bueno y de paso el procedimiento supongo que será correcto no?

Muchas gracias a tod@s, saludos

[Breogan]

Re: Error en procedimiento?? tiro parabolico

Hola:

La ecuacion del movimiento acelerado es vectorial:

$\dst \vec v=\vec v_0+\vec a t$

la ecuacion que vos pones $v= v_0+ a t$ es un caso particular de la anterior, donde la aceleracion y la velocidad tienen el mismo sentido, y en este caso hablar de variacion de los versores normal y tangencial es por lo menos futil.

Otra cosa, cuando uses mas de un sistema de referencia debes ser muy cuidadoso y consistente en el uso de identificadores (subindices) para los valores referidos a cada SR.

En un movimiento la velocidad siempre es tangencial a la trayectoria. Podemos escribir lo siguiente:

$\vec v=v_x \ \ \hat{\imath}+v_y \ \ \hat{\jmath}+v_z \ \ \hat{k}$

$\vec v=v_t \ \ \hat{e}_t$

de estas dos sale el versor tangencial (considerando que $v_t=\left\vert{\vec v} \right\vert{}$, y el modulo de un vector es invariante ante un cambio de SC)

Si no me equivoque despues es rapido el hallar el versor normal. No se si esto es lo que querias hallar, espero te sirva.


Suerte

[thekagas]

Re: Error en procedimiento?? tiro parabolico

Gracias por responder aunque no es exactamente lo que quería saber jej mi pregunta era, en resumen, si mi procedimiento para hallar, a partir del módulo de la velocidad, cómo varían los vectores tangentes unitarios en cada instante (su ecuación dependiente del tiempo), era correcto. Bueno el trabajo que tenía que hacer ya lo he hecho aunque aun me queda esa pequeña duda jej pero muchas gracias. Saludos

[Breogan]

Re: Error en procedimiento?? tiro parabolico

Hola:

Si lees bien, vas a ver una critica en lo que dije, a tu procedimiento

Suerte