1r ciclo Medio viscoso

[neometalero]

Una bolita de cierta masa cae (partiendo del reposo) desde un punto a través de un medio no viscoso, el cual no opone resistencia alguna. Desde A a B la bolita cae una altura de 4m. A partir de B, la bolita entra en un medio viscoso el cual ejerce una fuerza de rozamiento opuesta y proporcional a la velocidad v, dada por $-\gamma v$ siendo el coeficiente $\gamma=3.5Kg/s$.
Si se empieza a contar el tiempo desde que la bolita entra en el medio viscoso, calcular la velocidad de la bolita transcurrido un segundo.
Calcular la velocidad límite que alcanza la bolita en el medio viscoso.

Cual de las siguientes dos ecuaciones diferenciales para el problema es la correcta??

$$\gamma v=-m\frac{dv}{dt }$$

$$m\frac{dv}{dt }=mg-\gamma v$$

Parece obvio que la 2ª dado que la bola cae por acción de la gravedad, pero entonces no se donde introducir la velocidad inicial de la misma, justo antes de entrar en el segundo medio, que se halla por conservación de la energía.
La solucion a ambas ecuaciones que obtengo son:

$$v={v}_{0 }{e}^{ \frac{-\gamma t}{m }}$$

$$v=\frac{mg}{\gamma }[1-{e}^{\frac{-\gamma t}{m } }]$$

Mis dudas surgen porque como he dicho, no se donde usar la velocidad inicial en la segunda ecuacion y no se como hallar la velocidad limite en la primera.
Alguna sugerencia???

[arivasm]

Re: Medio viscoso

La ecuación es la (2). La velocidad inicial debe entrar como constante de integración. Por cierto que al obtener (4) has omitido la constante de integración, que es donde irá la v_0.

- - - Actualizado - - -

Se me olvidaba: la velocidad límite la encuentras simplemente haciendo que la aceleración sea nula (pues a partir del punto en que se alcance, la velocidad será constante).

[neometalero]

Re: Medio viscoso

Gracias, acabo de rehacer el asunto y la constante me sale nula...¿? No veo donde situar la velocidad inicial de 8.85m/s en mi ecuacion pues

[arivasm]

Re: Medio viscoso

Partamos de $\dst\frac{\dd v}{\dd t}=g-\frac{\gamma}{m}v=g-\alpha v$, donde he llamado, por comodidad, $\alpha=\gamma/m$. Despejando tenemos que $\dst\frac{\dd v}{g-\alpha v}=\dd t$. Integrando: $\dst\int_{v_0}^v \frac{\dd v}{g-\alpha v}=\int_0^t \dd t$, es decir, $\dst\ln\frac{g-\alpha v}{g-\alpha v_0}=-\alpha t$. Finalmente, $\dst v=v_0 \ee^{-\alpha t}+\frac{m g}{\gamma} \left(1-\ee^{-\alpha t}\right)$, donde también se ve que la velocidad límite es $\dst \frac{m g}{\gamma}$.