1r ciclo Péndulo

[sertoljim]

Una partícula unida al extremo de una cadena ligera de longitud L forma un péndulo simple. Un pasador horizontal se encuentra a una distancia d desconocida directamente debajo del punto donde la cuerda está enganchada. La cuerda se tensa horizontalmente y se deja caer. ¿Cuál es la distancia mínima d que permitiría a la cadena envolver alrededor del pasador al menos una vez?

Espero me podáis ayudar con éste problema. Gracias a todos!!

[Breogan]

Re: Péndulo

Hola:

Te doy una primera idea, seguro después te darán mas

Calcula la energía cinética máxima del péndulo (en su punto inferior) por conservación de la energía..

Esta energía cinética va a ser igual a la energía cinética del péndulo con longitud igual a L-d. Devuelta por conservación de la energía podes calcular la altura que va a alcanzar la masa en su rotación alrededor del pivote.

La condición para que de por lo menos una vuelta es que por lo menos alcance el punto mas alto en este giro alrededor del pivote.


Suerte

[sertoljim]

Re: Péndulo

Ajam, ahora tengo una ligera idea... Lo intento a ver si me sale, y cuelgo lo que haya hecho, a ver si lo he hecho correctamente!! Muchas gracias!

[sertoljim]

Re: Péndulo

sigue sin salirme... alguien me echa una mano por favor?

[oscarmuinhos]

Re: Péndulo

Si no ponemos condición adicional ninguna más que las del enunciado, el problema hay que interpretarlo como una combinación de movimiento circular y movimiento parabólico.
Pero, para entender un poco mejor el problema sin condición alguna, empecemos poniendo la condición de que la masa dé, al menos, una vuelta alrededor del pasador pero con la cuerda siempre tensa (sometida constantemente a alguna tensión)
A) una vuelta con la cuerda siempre tensa:
Se trata de un problema sencillo que se resuelve aplicando el principio de conservación de la energía. Ponemos el nivel cero de energía potencial en la horizontal del punto de suspensión. Como se ha puesto la condición de que la cuerda esté permantemente tensa, el movimiento alrededor del pasador tendrá que ser un movimiento circular. Para que la masa M acabe dando una vuelta al pasador tendrá que llegar al punto más alto de su trayectoria alrededor del pasador (circunferencia de radio L-d) con velocidad o como mínimo con velocidad cero. El principio de conservación de la energía conduce entonces a la siguiente ecuación:
0=1/2.mv² -mg(L-2(L-d))= -mg(L-2(L-d)); de donde d=L/2.
Así pues, con esta condición, el pasador habría de estar por debajo de la mitad de la longitud L de la cuerda.

B) Sin condición adicional alguna:
Se trata en este caso de una combinación de movimiento circular y parabólico. Para pasar al otro lado simplemente se requiere que alcance una posición y una velocidad que, en vuelo libre, como si la cuerda se rompiera le permita a la masa caer al otro lado del pasador.
Esta claro que la masa ha de sobrepasar la horizontal del pasador, pues de quedar libre antes de ese punto, saldría despedida en sentido contrario.
Supongamos ahora que la masa "queda libre" (sin tensión alguna en la cuerda) cuando la cuerda forma un ángulo $\theta$ con la horizontal. El principio de conservación de la energía permite calcular el valor de la velocidad en este punto y la dirección será, por supuesto, tangente a la trayectoria o sea formando un ángulo $\theta$ con la vertical:
0=1/2.mv² -mg(L-(L-d)-(L-d)sen$\theta$)=

- - - Actualizado - - -

(No sé por que, te lo envié antes de completar la escritura. Si no logras terminarlo vuelve a preguntar)

Si no ponemos condición adicional ninguna más que las del enunciado, el problema hay que interpretarlo como una combinación de movimiento circular y movimiento parabólico.
Pero, para entender un poco mejor el problema sin condición alguna, empecemos poniendo la condición de que la masa dé, al menos, una vuelta alrededor del pasador pero con la cuerda siempre tensa (sometida constantemente a alguna tensión)
A) una vuelta con la cuerda siempre tensa:
Se trata de un problema sencillo que se resuelve aplicando el principio de conservación de la energía. Ponemos el nivel cero de energía potencial en la horizontal del punto de suspensión. Como se ha puesto la condición de que la cuerda esté permantemente tensa, el movimiento alrededor del pasador tendrá que ser un movimiento circular. Para que la masa M acabe dando una vuelta al pasador tendrá que llegar al punto más alto de su trayectoria alrededor del pasador (circunferencia de radio L-d) con velocidad o como mínimo con velocidad cero. El principio de conservación de la energía conduce entonces a la siguiente ecuación:
0=1/2.mv² -mg(L-2(L-d))= -mg(L-2(L-d)); de donde d=L/2.
Así pues, con esta condición, el pasador habría de estar por debajo de la mitad de la longitud L de la cuerda.

B) Sin condición adicional alguna:
Se trata en este caso de una combinación de movimiento circular y parabólico. Para pasar al otro lado simplemente se requiere que alcance una posición y una velocidad que, en vuelo libre, como si la cuerda se rompiera, le permita a la masa caer al otro lado del pasador.
Esta claro que la masa ha de sobrepasar la horizontal del pasador, pues de quedar libre antes de ese punto, saldría despedida en sentido contrario.
Supongamos ahora que la masa "queda libre" (sin tensión alguna en la cuerda) cuando la cuerda forma un ángulo $\theta$ con la horizontal. El principio de conservación de la energía permite calcular el valor de la velocidad en este punto y la dirección será, por supuesto, tangente a la trayectoria o sea formando un ángulo $\theta$ con la vertical:
0=1/2.mv² -mg(L-(L-d)-(L-d)sen $\theta$)

Despejando la velocidad v:

v= $\sqrt{2g(d+dsen\theta-L sen \theta})$

A partir de aquí tienes que resolver un movimiento parabólico con las siguientes condiciones iniciales:
velocidad inicial: $\vec{v}$ = $\sqrt{2g(d+dsen\theta-L sen \theta})$. $(-sen \theta \hat{\imath} + cos \theta \hat{\jmath})$

posición inicial respecto a la horizontal del pasador: $((L-d)cos \theta, (L-d)sen \theta )$

Te lo dejo a partir de aquí. Creo que podrás terminarlo.
Si no lo logras completar, vuelve a preguntar.
Suerte

No te he puesto el esquema de la trayectoria y la velocidad, porque supongo que podrás hacerlo tu mismo.

A propósito: a que nivel corresponde este problema?

[sertoljim]

Re: Péndulo

Estoy en 1º de ingeniería mecánica. Muchas gracias por la ayuda, intentaré resolverlo con todo lo que me has dicho. No obstante, te agradecería que me volvieses a explicar lo de "con o sin condiciones adicionales". Me he perdido un poco con eso. Perdona por mi torpeza. Muchas gracias.

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Y otra pregunta más. Aquí: A partir de aquí tienes que resolver un movimiento parabólico con las siguientes condiciones iniciales:
velocidad inicial: = . ¿El . (-sen î + cos j) qué significa? El punto que aparece es multiplicación? ¿O te refieres a que la componente de la velocidad en el eje X es seno negativo y en el eje Y coseno positivo? Gracias!

[oscarmuinhos]

Re: Péndulo


A ver si con esta imagen te puedo ayudar.

Imagina que en esa posición que está la masa M la cuerda se rompe (o la masa se suelta). La masa continuará su movimiento pero ahora solo sometida a la fuerza de la gravedad: por esto se trata de un movimiento parabólico que supongo sabes resolver. Solo tienes que descomponer el movimiento de la masa en un movimiento horizontal (que es uniforme porque no hay fuerza horizontal alguna) y otro vertical (que es acelrado con aceleración g=9,8 m/s² hacia abajo).

El módulo de la velocidad en ese munto en que la cuerda se rompe (no hace falta en realidad que se rompa, llega con que no ejerza fuerza alguna sobre la masa M) se calcula aplicando el principio de conservación de la energía y a mi me dió:
$\sqrt{2g(d+dsen\theta-L sen \theta})$

Esta velocidad tienes que descomponerla para estudiar el movimiento parabólico y da:

$\sqrt{2g(d+dsen\theta-L sen \theta})(-sen \theta \hat{\imath} + cos \theta \hat{\jmath})$

es decir:
componente horizontal de la velocidad: $\vec{{v}_{x }}=-\sqrt{2g(d+dsen\theta-L sen \theta})sen \theta$

componente vertical de la velocidad: $\vec{{v}_{y}}=\sqrt{2g(d+dsen\theta-L sen \theta})cos \theta$

La posición inicial de la masa M para este movimiento parabólico, poniendo el origen de coordenadas en el pasador,

*posición horizontal: $x= (L-d)cos \theta$,

*posición vertical: $y = (L-d)sen \theta$

La posición final de la masa para lograr pasar al otro lado del pasador tendrá que ser (con el origen de coordenadas en el pasador): x=0 e y=0

y, por tanto, el sistema de ecuaciones que tienes que resolver será:

$x={x}_{0 }+{v}_{x }t$ e

$y={y}_{0 }+{v}_{ 0y}t+\frac{1}{2 }g{t}^{2 }$

Que, aplicadas a este caso, serán:

$0=(L-d)cos \theta -t.\sqrt{2g(d+dsen\theta-L sen \theta})sen \theta$

$0 = (L-d)sen \theta + t.\sqrt{2g(d+dsen\theta-L sen \theta})cos \theta -\frac{1}{ 2} 9.8 {t}^{ 2}$

A estas dos ecuaciones, añades la conservación de la energía referida al punto (0,0) (en el pasador) o, lo que es lo mismo, que la velocidad que tiene la masa en el ejer horizontal subiendo es la misma que va tener en el punto (0,0) bajando:

$-\sqrt{2gd}=\sqrt{2gd}-9,8 {t}^{2 }$

y tienes un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas (la distancia d, el tiempo t y el ángulo $\theta$) que, en teoría, permitirían resolver el problema. (si tengo tiempo lo haré, por que, entre otras cosas, -ahora que llegué hasta aquí-, tengo curiosidad por saber la solución y también por si hubiera otra manera más sencilla de resolverlo).

Cuando lo resuelva te lo mandaré.
Un saludo y suerte

NOTA: La parte primera del problema con la condición inicial de que la cuerda estuviese permanentemente tensa no hace falta para este problema. Te lo puse, para que vieras la diferencia entre el movimiento de la masa M sometido a la fuerza de la gravedad y ligado a la cuerda y el movimiento de la misma masa M solo sometido a la fuerza de la gravedad desde que la cuerda se "rompe". Por supuesto, en los dos casos, se tiene que cumplir el principio de conservación de la energía, pero las trayectorias resultan distintas.

Un saludo de nuevo. Y si lo resuelves antes que yo, dime lo que te da.

[sertoljim]

Re: Péndulo

Pfff... Muchas gracias, de verdad. No sabes cuánto me has ayudado. En cuanto lo haga, te lo hago saber. Muchas gracias de nuevo!!

[sertoljim]

Re: Péndulo

Cuando lo hagas podrías colgarlo? Para comprobar si nos da el mismo resultado. Gracias.

[sertoljim]

Re: Péndulo

Me he puesto a resolverlo pero no entiendo por qué en la última ecuación, donde igualas la velocidad subiendo con la velocidad bajando (y=0), queda Mi pregunta es: ¿de dónde sale ese -9.8t^2?? Gracias una vez más.

- - - Actualizado - - -

Y otra cosa, donde pones 9.8, te refieres a g, por tanto, en vez de poner 9.8, podríamos poner g, verdad??

- - - Actualizado - - -

Tomando 9.8 y sustituyéndolo por g llego a pero no sé como acabar de despejar d...

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Me podrías explicar de dónde sale la última ecuación?

[Jose D. Escobedo]

Re: Péndulo

Hola sertoljim,

Obtuve que: $d=(2\sqrt{3}-3)L$ creo que la clave esta en la tangente de donde se tocan la parabola y el circulo.

Saludos
Jose

[sertoljim]

Re: Péndulo

Sí, pero has utilizado esas 3 ecuaciones que propone oscarmuinhos?? Es que no sé de dónde sale la última, podrías explicarmelo?? Gracias!

[arivasm]

Re: Péndulo

Edito: el contenido de este post no da respuesta al ejercicio (pues se correspondería con otra situación diferente: la que expongo aquí no sería para que se arrolle al menos una vez, sino para que se arrolle completamente alrededor del pasador!)


Perdonadme que me meta en medio de este hilo, pero yo lo enfocaría de otra manera y, por lo que veo, el resultado no es coincidente con el que puso Jose Escobedo en el post#11. A ver qué opináis.

De entrada tenemos la conservación de la energía, como se ha mencionado antes, en lo que es clave el hecho de que, en caso de cumplirse las condiciones del ejercicio, la masa esté sometida en todo instante a dos fuerzas: su peso, que es conservativa, y la tensión de la cuerda, perpendicular a la trayectoria y, por tanto, que no realiza trabajo.

En particular, prestaremos atención al punto más alto de la circunferencia que trazará alrededor del pasador, cuyo radio será (como apreciamos al fijarnos en el punto más bajo)

$$r=L-d$$

Como dicho punto más alto de la circunferencia está por debajo del de partida una distancia

$$h=d-r=2d-L$$

se cumplirá que al pasar por él la velocidad de la masa satisfará (por conservación de la energía)

$$\frac{1}{2}v^2=g(2d-L)$$

Si la cuerda permanece tensa, como en ese punto la masa está sometida a dos fuerzas de la misma dirección y sentido, la aceleración será exclusivamente centrípeta, de modo que, por la 2ª ley de Newton,

$$\dst T+mg=m \frac{v^2}{r}=m \frac{v^2}{L-d}$$

Por tanto, de (3) se sigue que

$$T = mg\left(2\frac{2d-L}{L-d} -1\right)=mg\frac{5d-3L}{L-d}$$

Por supuesto, la condición para nuestro caso es que $T\geq 0$, lo que significa que

$$\boxed{d \geq \frac{3}{5}L}$$

Para terminar justificaré que si se cumple que la cuerda está tensa en el punto más alto de la circunferencia alrededor del pasador entonces también lo está en cualquier otro punto de la misma.

Sea $\theta$ el ángulo de la cuerda con la vertical en dicha circunferencia, de manera que $\theta=0$ corresponda al punto más bajo. La aceleración centrípeta cumplirá, por la 2ª ley de Newton que,

$$\dst m\frac{v^2}{r}=T-mg\cos\theta$$

Como la altura del punto de partida respecto del de cálculo será

$$h'=d+r\cos\theta$$

tenemos que

$$\dst\frac{1}{2}v^2=g d+g r\cos\theta$$

y entonces

$$\dst 2mg\frac{d}{r}+2mg\cos\theta=T-mg\cos\theta$$

De donde resulta que la tensión es

$$\dst T=mg \left( 2\frac{d}{r}+3\cos\theta\right)$$

que, como vemos es mínima en $\theta=\pi$.

[sertoljim]

Re: Péndulo

Sí, pero la cuerda no tiene que estar tensa siempre obligatoriamente. Llega un momento en el que el cuerpo "queda libre" y realiza un movimiento de caída libre. El razonamiento anterior vale, lo único que no entiendo es cómo se saca la segunda ecuación. Arivasm, tu planteamiento es totalmente correcto para la cuerda tensa, pero en este problema no está tensa todo el tiempo. ¿Sabrías resolverlo de la otra forma?

[arivasm]

Re: Péndulo

¿Cuándo quedará en caída libre? Entiendo que no sucederá en ningún momento, salvo que la distancia d sea demasiado pequeña.