1r ciclo Fuerzas implicadas en un muelle

[kuvala]

Hola Buenas

Tengo la cabeza hecha ahora mismo un lío por culpa de la segunda ley de newton!! jajaja A ver, tenemos un muelle orientado hacia el sentido negativo del eje X a cierta distancia del origen. Hacia él, se dirige una masa con velocidad constante y con ausencia de rozamiento en todo momento. En el momento que impacta la masa en el muelle y se para, las fuerzas que actúan son las siguientes: una fuerza $\vec{{F}_{m }}$ en el sentido positivo del eje X y otra fuerza $\vec{{F}_{k }}$de igual módulo y sentido contrario, dado por el principio de acción y reacción. Hasta aquí creo que está bien la cosa.

Pero claro, puesto que $\vec{{F}_{m }}=m\vec{a}$ y la aceleración es negativa porque la masa se está frenando, entonces, esto quedaría: $\vec{{F}_{m }}=-ma\hat{\imath}$, cosa que va en contra del razonamiento lógico. ¿Qué falla aquí?

Muchas gracias

Un Saludo

[arivasm]

Re: Fuerzas implicadas en un muelle

Tienes que tener en cuenta que si la fuerza $\vec F_m$ la ejerce el muelle sobre la masa, y entonces ciertamente $\vec F_m=m\vec a$, la fuerza de reacción la ejerce la masa sobre el muelle, por lo que no tiene sentido que la computes entre las que actúan sobre la masa. En todo caso entraría en la aplicación de la 2ª ley... al muelle!

[kuvala]

Re: Fuerzas implicadas en un muelle

A ver, para afianzar conceptos

Considerando fuerzas por independiente en cada objeto, es decir, "fuerzas que actúan sobre la masa" y "fuerzas que actúan sobre el muelle", esto sería así:

Fuerzas que actúan sobre la masa $m$
Las fuerzas que actúan sobre la masa $m$ a lo largo del eje X es la fuerza que el "el muelle ejerce sobre la masa". A esta fuerza la vamos a llamar $\vec{{F}_{1 }}$ para no liarnos. Entonces, por la segunda ley de Newton, la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo implica que genera una aceleración en él.

$$\vec{{F}_{1 }}=m\vec{{a}_{m }} \Rightarrow -k\Delta x\hat{\imath}=m{a}_{m }\hat{\imath} \Rightarrow \vec{{a}_{m }}=\frac{-k\Delta x}{m }\hat{\imath}$$

Entonces, según esto vemos que $\vec{{F}_{1 }}$ va en el sentido negativo del eje X

Fuerzas que actúan sobre el muelle
Las fuerzas que actúan sobre el muelle a lo largo del eje X es la fuerza que "la masa ejerce sobre el muelle". A esta fuerza la vamos a llamar $\vec{{F}_{2}}$. Siguiendo el mismo razonamiento anterior:

$$\vec{{F}_{2}}={m}_{k }\vec{{a}_{k }}$$

Y por la tercera ley de Newton de acción y reacción, $\vec{{F}_{1 }}=-\vec{{F}_{2 }}$

$\dst-\vec{{F}_{1 }}=\vec{{F}_{2 }}={m}_{k }{a}_{k }\hat{\imath} \Rightarrow -(-k\Delta x\hat{\imath})={m}_{k }{a}_{k }\hat{\imath} \Rightarrow \vec{{a}_{k }}=\frac{k\Delta x}{ {m}_{k }}\hat{\imath}$


La aceleración de ambas fuerzas es máxima justo cuando la masa toca al muelle y empieza a contraerlo. A partir de ese instante, la aceleración va disminuyendo puesto que $\Delta x$ lo hace, entendiendo por $\Delta x=(x-{x}_{ 0})-{x}_{comp }$, donde ${x}_{ 0}$ es la longitud natural, ${x}_{comp }$ es la longitud máxima a la que se puede comprimir el muelle. En el momento en el que el muelle llegue a esta posición, la aceleración será cero.

¿Está todo correcto?

Muchas gracias.

Un Saludo

[arivasm]

Re: Fuerzas implicadas en un muelle

Veo que llamas $\Delta x$ a la contracción que se produce en la longitud del muelle, es decir, la diferencia entre su longitud actual y la que tiene inicialmente. Si por x denotas la coordenada de la masa y por $x_0$ la posición inicial del extremo del muelle contra el que choca la masa (y me ha parecido entender que ambas son negativas, pues indicas que el otro extremo está -al menos inicialmente- en el origen), entonces para poder tener información acerca de cuánto vale $\Delta x$ necesitamos saber qué está sucediendo, precisamente, con el extremo derecho. En concreto, como la longitud natural del resorte será $-x_0$ la actual será $x_d-x$, donde $x_d$ es la posición actual del extremo derecho. De esa manera, la contracción del resorte será $\Delta x=x_d-x+x_0$ y no la que indicas.

El problema está, por tanto, en analizar cómo es el movimiento del resorte como un todo debido al impacto con la masa. Si van por ahí los tiros de lo que te interesa podemos hincarle el diente (aunque me temo que tendremos que meter en danza fenómenos ondulatorios en el muelle, que quizá no sean fáciles de modelar). ¿O quizá estabas pensando en que el extremo inicialmente en el origen va a permanecer ligado a ese lugar? En tal caso habrá dos fuerzas sobre el muelle: la que ejerce m y la que ejerce el mecanismo que mantiene dicho punto fijo.

[oscarmuinhos]

Re: Fuerzas implicadas en un muelle

Hola
Creo que hay por aquí mucha confusión de conceptos.
En primer lugar:
La fuerza del muelle es proporcional a $\Delta x$ como tu escribes, entendiendo por $\Delta x$ lo que se acorta (o se alarga) el muelle. Por lo tanto la aceleración de la masa en el momento en que la masa (que se mueve con velocidad constante) toca el muelle es cero. Será máxima en el punto de retroceso ya que es donde se produce la máxima contracción del muelle.

Y en segundo lugar:
La ecuación que tu pones $F= k \frac{\Delta x}{ m}$ es válida para calcular la fuerza y la aceleración cuando se conoce la contracción. Pero que es lo que realmente pretendes calcular y que datos tienes de partida?.

[arivasm]

Re: Fuerzas implicadas en un muelle

Óscar, quítale la m a la última ecuación que has puesto, o reemplaza la F por una a

[kuvala]

Re: Fuerzas implicadas en un muelle

La aceleración de ambas fuerzas es máxima justo cuando la masa toca al muelle y empieza a contraerlo. A partir de ese instante, la aceleración va disminuyendo puesto que $\Delta x$ lo hace, entendiendo por $\Delta x=(x-{x}_{ 0})-{x}_{comp }$, donde ${x}_{ 0}$ es la longitud natural, ${x}_{comp }$ es la longitud máxima a la que se puede comprimir el muelle. En el momento en el que el muelle llegue a esta posición, la aceleración será cero.

Ups, me he equivocado en esta parte. Quería decir que la velocidad de la masa será "máxima" en el instante en el que la masa toca el muelle, puesto que a medida que lo va contrayendo, la masa va disminuyendo su velocidad y esto implica que en este tramo, tendría aceleración negativa.

Sin embargo, en el caso del muelle, considerando A como un punto para analizar (del muelle) el cual es el primero que toca a la masa ¿cómo variaría la velocidad del punto a medida que el muelle se va contrayendo? ¿Y la aceleración como sería?

La duda de esto último me viene en que, justo antes de que la masa toque al muelle (t1), el punto A está en reposo, es decir, velocidad cero. Por otro lado, cuando la masa (por la acción del muelle) se detiene al final de la contracción del muelle (t2), este punto A también tendrá velocidad cero. Entonces, en t1 y t2, la velocidad de A es cero, sin embargo, en los tiempos comprendidos entre estos dos instantes, no es cero la velocidad. De hecho, yo diría que "se acelera" y luego se "desacelera". Dicho esto, habrá un instante en el que A, al contraerse, tenga velocidad máxima. ¿Esto es así?

Bueno, en realidad no pretendo calcular nada en concreto ni tampoco hay datos. Simplemente es por analizar qué es lo que pasa en el caso que he puesto en el primer mensaje, para completar conocimientos o reestructurarlos, o mejorarlos jejeje

Muchas gracias

Un Saludo

[oscarmuinhos]

Re: Fuerzas implicadas en un muelle

Gracias. Efectivamente tienes razón. Habrá que poner un poco más de concentración al escribir...lo que realmente quise escribir era aceleración y no fuerza
(aunque también a veces es bueno recordar que la aceleración también es una fuerza. Solo es nuestro particular interés quien unas veces la interpreta como fuerza -si nos interesa la dinámica, más que la cinética- y otras como aceleración -si interesa la cinética más que la dinámica).

- - - Actualizado - - -

Efectivamente que se acelera y se desacelera. Se desacelera desde el momento del choque hasta que retrocede y vuelve a acelerarse desde que empieza a retroceder hasta que que el muelle al llegar a su longitud propia deja de "empujar" a la masa. En este momento, despreciando los rozamientos, la masa alcanzaría de nuevo la velocidad inicial pero ahora en sentido contrario alejándose del muelle.
Si quieres obtener la velocidad en función del tiempo, tendrás que resolver la ecuación diferencial siguiente:
$m\frac{{d}^{2 }x}{{dt}^{2 } }=-kx$

que tiene por solución: $x=A\sin (\sqrt({\frac{k}{m }})t +\theta)$

que es la ecuación de un movimiento armónico simple

Derivando x tendrás la velocidad.

Es esto lo que querías saber?

- - - Actualizado - - -

Completando el mensaje anterior las constantes A y $\theta$ se calculan a partir de las condiciones iniciales del problema. Si situamos el origen en la posición inicial del muelle tendríamos:
t=0, x=0 y v= v₀
con lo que $\theta=0$

[kuvala]

Re: Fuerzas implicadas en un muelle

Efectivamente que se acelera y se desacelera. Se desacelera desde el momento del choque hasta que retrocede y vuelve a acelerarse desde que empieza a retroceder hasta que que el muelle al llegar a su longitud propia deja de "empujar" a la masa. En este momento, despreciando los rozamientos, la masa alcanzaría de nuevo la velocidad inicial pero ahora en sentido contrario alejándose del muelle.

Muchas gracias por estar molestandote en contestarme oscarmuinhos, de verdad

Lo que has contestado, eso lo tenía más o menos claro, pero vamos, no está de más que se diga jejeje. Yo me estaba fijando más en "cómo se mueve un punto del muelle ligado a él por efecto del impacto de la masa". Es lo que decía antes: antes de que la masa haya impactado con el muelle, todo el muelle está en reposo, es decir, la velocidad en cualquier punto del muelle es cero. Sin embargo, en el instante en el que la masa toca al muelle y empieza a desplazarlo, este punto que ha tocado (del muelle) empieza a acelerarse puesto que pasa de velocidad cero a otra velocidad que va aumentando. Por otro lado, este punto del muelle, en el instante en el que la masa tiene velocidad cero, este punto del muelle también tiene velocidad cero. Entonces, mi duda era que, si el punto del muelle pasa de un instante con velocidad cero (t1) a otro instante con velocidad cero (t2) y sabiendo "que entre los instantes t1 y t2, la velocidad de ese punto no es cero", yo he pensado que ese punto (del muelle), primero se acelera (porque pasa de velocidad cero a una velocidad positiva) y luego se desacelera (porque va disminuyendo la velocidad hasta que vuelve a ser cero)

Por otro lado, también pienso que sería más consecuente ver ese punto del muelle como un punto que en el instante en el que la masa lo toca, queda ligado a la masa y automáticamente, éste se mueve con la misma velocidad que lo haga la masa.

[oscarmuinhos]

Re: Fuerzas implicadas en un muelle

Amigo kuvala, la Física que estudiamos pocas veces se corresponde con la realidad TOTAL. Efectivamente, si miramos al muelle, ese extremo con el que choca la masa con una velocidad V₀, pasaría repentinamente de estar en reposo a alcanzar la velocidad V₀ de la masa. Es decir un cambio de velocidad de 0 a V0 instantáneo, lo que estaría en contradicción con la teoría de la relatividad que no permite velocidades mayores que las de la luz (ESO DEL CERN, ya ves que ha sido todo un fallo de medida). Pero, en la IDEALIZACIÓN QUE SE HACE DEL MUELLE, ESTE NO TIENE MASA. Por eso le está permitido al muelle (a pesar de la relatividad de Einstein) que pase de 0 a V₀ instantaneamente.

Un saludo.

[arivasm]

Re: Fuerzas implicadas en un muelle

Sólo una pequeña matización: lo que sería infinito sería la aceleración, no la velocidad. La relatividad no impone límites a la aceleración. Otra cosa es que eso sea físicamente razonable. En la práctica, lo que sucede cuando dos cuerpos entran en contacto es que las partículas que los componen ejercen fuerzas entre sí antes de que la distancia entre ellas sea nula, de manera que las aceleraciones son progresivas y entonces también los cambios de velocidad. Por otra parte, los objetos reales no son absolutamente rígidos y los efectos de la colisión no abarcan inmediatamente a todo el cuerpo. En definitiva, como ha dicho Óscar, al manejar idealizaciones prescindimos de aspectos de la realidad que, aunque la vuelven más manejable, pueden estar en contradicción con los límites de lo razonable o aceptable.

[oscarmuinhos]

Re: Fuerzas implicadas en un muelle

Yo y tu, amigo ARISVASM, parece que nos entendamos mal. No me referí para nada a la aceleración del muelle!!!!
A ver si lo explico un poco mejor:
-el muelle al percibir el choque provoca una respuesta instantánea frente al choque pasando instantáneamente del reposo a una velocidad V_0. Esta velocidad de la respuesta (no la velocidad ni la aceleración del muelle o de las masas del muelle) es lo que está en contradicción con la relatividad. Porque si nada puede viajar más rápido que la luz, pues no puede tampoco haber señal alguna que viaje más rápido que la luz!!!! No esa así????

Y añadí lo de la idealización del muelle para ilustrar que a un muelle ideal, por que no le va a estar permitido contradecir las leyes de la relatividad?

Evidentemente la realidad no es así. Pero, por que no utilizar tal idealización, si permite explicar las cosas sin demasiadas complicaciones, sin tener que matar moscas a cañonazos (como alguien explicaba, -creo que tu-, al respecto de la aplicación de la mecánica moderna a las situaciones de la mecánica clásica)

[arivasm]

Re: Fuerzas implicadas en un muelle

Hola Óscar, pues sí que parece que no nos entendemos, y eso que somos vecinos, e incluso compatriotas!

Si la fuerza de interacción entre dos partículas tiene un radio de alcance nulo (ya sé que eso estaría en contradicción con el principio de incertidumbre, pues requeriría el intercambio de una partícula virtual de masa infinita) en una colisión entre ellas la velocidad cambiaría instantáneamente, sin necesidad de que haya una violación de la relatividad, pues la información debería viajar una distancia 0 en un tiempo 0. Para darle un carácter algo más realista, nada impide que el cambio en la velocidad de una partícula se produzca en un tiempo minúsculo, con tal de que ninguna de las velocidades implicadas supere la velocidad de la luz, incluida la de la señal. A eso me refería antes cuando matizaba que no hay contradicción con la relatividad por el hecho de que una aceleración sea enorme.

De todos modos, imagino que nuestro amigo kuvala estará más interesado en su problema que en nuestras discusiones sobre matices.

Con respecto al mismo, insistiré en que kuvala debería aclarar si sobre el resorte actúan más fuerzas (por ejemplo porque el otro extremo esté fijo) o si sólo está sometido a la interacción con la colisión con la masa móvil que choca contra él, porque el resultado será bien diferente. Así, la compresión del resorte, gobernada por un movimiento armónico simple que citas en el post #8 corresponderá con el primer caso, pero me temo que quizá no con el segundo.

[kuvala]

Re: Fuerzas implicadas en un muelle

No, estoy igual de interesado en vuestras fundamentadas discusiones que en mi problema. Todo lo que sea ver todos los puntos de vista de algo y aprender, bienvenido sea

Referente a lo de las fuerzas en el muelle, yo lo había imaginado el muelle fijo a una cierta distancia sin más, porque sé que si no llega a estar fijo, la cosa se complica considerablemente y tampoco quería verlo en ese sentido jejeje.

[arivasm]

Re: Fuerzas implicadas en un muelle

En ese caso sucederá lo que te ha dicho Óscar: se producirá un movimiento armónico simple de las características que él te ha indicado.

También puede ser interesante apreciar que para encontrar la relación entre la velocidad de la masa y la compresión del resorte podemos recurrir a la conservación de la energía mecánica, pues la fuerza entre el resorte y la masa (fuerza de Hooke) es conservativa y la que mantiene fijo el otro extremo no realiza trabajo. Como la energía mecánica inicial es igual a la energía cinética de la partícula. $\frac{1}{2}mv_0^2$, y cuando esta ya esté en contacto con el resorte habrá un término de energía potencial $\frac{1}{2}k\Delta x^2$. Por tanto, se cumplirá que $\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}k\Delta x^2$.