1r ciclo Estática con resorte.

[Samir M.]

Buenas, tengo una pequeña duda respecto a este problema: http://imageshack.us/photo/my-images...inttuloqm.png/
Os pongo mi desarrollo para que veáis hasta dónde he llegado:

El ángulo que forma la fuerza Peso, con la varilla, es[FONT=arial]θ. Imaginémonos un eje hozintal que pasa por B, entonces el ángulo que forma la fuerza restauradora con este eje, será de [/FONT][FONT=arial]θ/2, ya que al ser el triángulo A, B, y donde empieza el resorte, un triángulo isósceles, sabemos que los otros dos ángulos diferentes a [/FONT][FONT=arial]θ han de ser iguales. Como la suma de los tres ángulos de un triángulo cualquiera ha de ser 180º, tenemos que: [/FONT][FONT=arial]θ + a + a = 180º => [/FONT][FONT=arial]θ +2a = 180º => a = 90 - [/FONT][FONT=arial]θ/2.
Ahora, si nos fijamos en el vértice que está donde comienza el resorte, y pronlongamos una línea horizontal tal que el resorte quede debajo de esta línea, podemos ver que el ángulo que formará el resorte con esta línea (eje horizontal) será de 90 - a, o sea, 90 - 90 + [/FONT][FONT=arial]θ/2, o sea, [/FONT][FONT=arial]θ/2. Bien, si llamamos x a la longitud del resorte, se nos cumplirá que cos([/FONT][FONT=arial]θ/2) = Cateto contiguo / x, donde el cateto contiguo, lo podemos hallar como sen([/FONT][FONT=arial]θ) · L (volviendo sobre la línea horizontal dibujada en B se observa claramente cómo queda un triángulo rectángulo cuyo cateto opuesto respecto a [/FONT][FONT=arial]θ es el cateto contiguo que buscamos). Una vez dicho esto, podemos hallar la longitud del muelle en función de [/FONT][FONT=arial]θ como:

[/FONT][FONT=arial]cos([/FONT][FONT=arial]θ/2) = [/FONT][FONT=arial] sen([/FONT][FONT=arial]θ) · L[/FONT][FONT=arial] / x , donde haciendo un poco de trigonometría llegamos a una expresión mucho más cómoda: x = 2L · sen([/FONT][FONT=arial]θ/2)

Una vez hecho este desarrollo, planteo las ecuaciones correspondientes al estado de equilibrio:

Fuerzas en el eje x: Ra · sen([/FONT][FONT=arial]θ) - k · (2L · sen([/FONT][FONT=arial]θ/2) - lo) · cos([/FONT][FONT=arial]θ/2) = 0
Fuerzas en el eje y: k ·[/FONT][FONT=arial] (2L · sen([/FONT][FONT=arial]θ/2) - lo) · [/FONT][FONT=arial]sen([/FONT][FONT=arial]θ/2) + Ra · cos([/FONT][FONT=arial]θ) = mg

y aquí es donde está mi duda, sé que el momento que crea la fuerza peso respecto del punto A (mi centro de momentos), será de: - P · L · sen([/FONT][FONT=arial]θ), pero y el de la fuerza restauradora? He llegado a pensar que sería [/FONT][FONT=arial]k ·[/FONT][FONT=arial] (2L · sen([/FONT][FONT=arial]θ/2) - lo) · L · sen([/FONT][FONT=arial]θ/2), pero claro, este ángulo es el que forma sólo con nuestra línea horizontal que pasa por B, no con la varilla... Así que aquí me he quedado.

Un Saludo, y gracias por leerme![/FONT]

[oscarmuinhos]

Re: Estática con resorte.

Para no liarte con la trigonometría y la medida de ángulos, tal vez te sea más útil vectorizar la fuerza restauradora y el vector de posición (respecto de A) del punto de aplicación de esta fuerza y aplicar entonces la definición vectorial del momento de una fuerza: $\vec{M}$_F=$\vec{r}$_F x $\vec{F}$

$\vec{r }$ = Lsen$\theta\vec{i}$+Lcos $\theta. \vec{j}$

$\vec{F}$ = kx(-cos $\theta \hat{\imath}$ + sen $\theta \hat{\jmath}$)

Y ahora calculas el producto vectorial. Por supuesto, tendrá que darte un vector con una única componente en la dirección del vector $\hat{k}<br />$
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[Samir M.]

Re: Estática con resorte.

Mm, creo que has supuesto que el resorte forma un ángulo de 90º con la varilla... Y forma un ángulo > de 90 grados.. de no ser así no sé a ángulo [FONT=arial]θ te refieres.[/FONT]
De todas formas es una idea más, pero sigo sin verlo nada claro. No se puede intentar hacer como hice con la fuerza peso?

[oscarmuinhos]

Re: Estática con resorte.

Esa duda última que planteas, -el momento de la fuerza del resorte respecto del punto A-, es lo que te contesté ya por la mañana. Te la vuelvo a poner, pero por favor lee las respuestas:

Para no liarte con la trigonometría y la medida de ángulos, tal vez te sea más útil vectorizar la fuerza restauradora y el vector de posición (respecto de A) del punto de aplicación de esta fuerza y aplicar entonces la definición vectorial del momento de una fuerza: _F=_F x

= Lsen+Lcos

= kx(-cos + sen )

Y ahora calculas el producto vectorial. Por supuesto, tendrá que darte un vector con una única componente en la dirección del vector
Te ha servido? Suerte

[Samir M.]

Re: Estática con resorte.

He llegado a que el momento que crea la fuerza elástica respecto del Punto A, puede ser:
[FONT=arial]k ·[/FONT][FONT=arial] (2L · sen([/FONT][FONT=arial]θ/2) - lo) · L · [/FONT][FONT=arial]sen([/FONT][FONT=arial]θ/2)
Pensáis que os correcto?[/FONT]

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Disculpa, pero ya la leí, y te pregunté si suponías que el ángulo que formaba el resorte con la varilla, pensabas que era de 90 grados.

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Disculpa, pero ya la leí, y te pregunté si suponías que el ángulo que formaba el resorte con la varilla, pensabas que era de 90 grados.

[oscarmuinhos]

Re: Estática con resorte.

Perdona. No había entendido tu pregunta.
Tu estudio geométrico de los ángulos está, en mi opinión, perfecto. Si bien los ángulos siempre puedes referirles a un semieje o al otro.

[Samir M.]

Re: Estática con resorte.

De acuerdo, gracias, entonces mi duda reside básicamente en la concepto de momento por lo que veo. Es correcto, descomponer la fuerza elástica, y coger la componente que es perpendicular al vector AB, y decir que el momento que ejerce el resorte respecto al punto A, sería esta componente perpendicular al vector posición, por el módulo del vector posición? Es decir, [FONT=arial]k ·[/FONT][FONT=arial] (2L · sen([/FONT][FONT=arial]θ/2) - lo) · cos([/FONT][FONT=arial]θ/2).
El ángulo [/FONT][FONT=arial]θ/2 al que me estoy refiriendo se encuentra en: Trazando una perpendicular al punto B, este ángulo es el que forma el resorte con dicha perpendicular, de forma que la componente perpendicular tiene por valor el coseno de ese ángulo.

Gracias.[/FONT]

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De acuerdo, gracias, entonces mi duda reside básicamente en la concepto de momento por lo que veo. Es correcto, descomponer la fuerza elástica, y coger la componente que es perpendicular al vector AB, y decir que el momento que ejerce el resorte respecto al punto A, sería esta componente perpendicular al vector posición, por el módulo del vector posición? Es decir, [FONT=arial]k ·[/FONT][FONT=arial] (2L · sen([/FONT][FONT=arial]θ/2) - lo) · cos([/FONT][FONT=arial]θ/2).
El ángulo [/FONT][FONT=arial]θ/2 al que me estoy refiriendo se encuentra en: Trazando una perpendicular al punto B, este ángulo es el que forma el resorte con dicha perpendicular, de forma que la componente perpendicular tiene por valor el coseno de ese ángulo.

Gracias.[/FONT]

[oscarmuinhos]

Re: Estática con resorte.

Disculpa de nuevo. Efectivamente, vectoricé mal la fuerza del resorte. Debió de ser un problema de este editor de textos.
El ángulo que forma el resorte con los ejes, en la ecuación que te puse aparece que es $\theta$cuando debía de poner $\theta /2$

Para no liarte con la trigonometría y la medida de ángulos, tal vez te sea más útil vectorizar la fuerza restauradora y el vector de posición (respecto de A) del punto de aplicación de esta fuerza y aplicar entonces la definición vectorial del momento de una fuerza: _F=_F x

= Lsen+Lcos

$\vec{F} = kx (-cos \frac{\theta }{ 2}\hat{\imath} + sen \frac{\theta}{2 }\hat{\jmath})$

Y ahora calculas el producto vectorial. Por supuesto, tendrá que darte un vector con una única componente en la dirección del vector
Te ha servido? Suerte

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No me dices cual es la otra dirección de descomposición. Para que sea correcto esa forma de calcular el momento, la descomposición de la fuerza tienes que hacerla tomando una dirección perpendicular y la otra en la dirección del vector de posición. De todas formas ten cuidado: este método funciona cuando el sistema de fuerzas es plano (vectores de posición y fuerzas todas en el mismo plano), porque lo que realmente haces es dar por supuesto que el momento tiene para todas las fuerzas la misma dirección (perpendicular al plano) y calcular solo el módulo del momento atribuyéndole luego un signo más o menos segun el sentido de giro que tienda a producir la fuerza. No vale (o sirve de muy poco) si el sistema de fuerzas no es plano.
No encuentro ahora tu esquema de los ángulos. Puedes ponerlo otra vez.
Por que a mi, resolviendo el momento por producto vectorial me da:
$M=L.k.x.cos (\theta - \frac{\theta}{ 2})$

[Samir M.]

Re: Estática con resorte.

A mí me da lo mismo
Así que ahora resolviendo nuestra ecuación de momentos:
[FONT=arial]
k ·[/FONT][FONT=arial] (2L · sen([/FONT][FONT=arial]θ/2) - lo) · L · cos([/FONT][FONT=arial]θ/2)[/FONT][FONT=arial] - P · L/2· sen([/FONT][FONT=arial]θ) = 0, y que despejando de aquí sen([/FONT][FONT=arial]θ/2) y teniendo en cuenta que [/FONT][FONT=arial]sen([/FONT][FONT=arial]θ)/[/FONT][FONT=arial]cos([/FONT][FONT=arial]θ/2) = 2*[/FONT][FONT=arial]sen([/FONT][FONT=arial]θ/2[/FONT][FONT=arial] [/FONT][FONT=arial] tenemos que:

[/FONT][FONT=arial]sen([/FONT][FONT=arial]θ/2) = (k*lo) / (K*2*L - MgL) , cosa que no me coincide con mi solución, la cual es: sen([/FONT][FONT=arial]θ/2) = [/FONT]K*lo/[2 (K L - M g)];

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Ya lo resolví, un saludo y gracias!