Secundaria Sistema de resortes

[juantv]

Tardes,

Situación

Dos resortes idénticos cuya constante elástica es k y longitud natural es x se introducen, atados por una esfera pequeña de masa m, en un cilindro sin fricción de longitud 2x como se indica en la figura.



Suponga que el cilindro se coloca verticalmente. De las siguientes afirmaciones cuales son correctas

I. La masa permanece en reposo en la mitad del cilindro
II. La masa oscila debido únicamente a su peso
III. La posición de equilibrio de la masa está debajo de la mitad del cilindro

Mi intento

I. No creo que la masa permanezca en reposo, debido a que actúa el peso de la esfera y rompe el equilibrio que tenia cuando estaba horizontal. Es esto correcto?

II. Creo que la masa no oscila solo por su peso, también lo hace por la fuerza restauradora del resorte. Es esto correcto?

III. No logro ver porque esto es cierto (ya que en las respuestas la nombran como cierta) , alguna ayuda para ver que la posición de equilibrio de la masa esta debajo de la mitad del cilindro ?

Pregunta adicional

porque al plantear la segunda ley de newton en el movimiento de un cuerpo colgando de un muelle no se tiene en cuenta el peso del mismo?, osea:

$\dst \sum F = m a$

$\dst mg - f_h = ma$ , $f_h = - k x$

$\dst m \ddot{x} + kx = mg$

$\dst \ddot{x} + \frac{k}{m} x = g$

porque esto es incorrecto?


Agradezco su orientación.

[[Beto]]

Re: Sistema de resortes

Para la parte tres basta que notes que al ubicar al sistema en posición vertical la masa tiende a ir hacia abajo (por causa de la gravedad), luego el resorte de arriba tiende a tirar de la masa para recuperar su longitud natural y el resorte de abajo lo empuja por el mismo motivo, es por ello que la nueva posición de equilibrio será aquella donde $2k(\Delta x)=mg$, donde ese $\Delta x$ es la distancia que la masa se ha desplazado hacia abajo.

En la pregunta adicional yo supongo que se refiere al peso del muelle, y si no se tiene en cuenta el peso de este es porque se lo supone ideal.

[juantv]

Re: Sistema de resortes

a ver si lo entendí, al poner el sistema en posición vertical la masa va hacia abajo debido a su peso, en ese momento se crean dos fuerzas restauradoras, debido a los dos resortes, en ese momento considero que el sistema esta en equilibrio, por lo que $\sum F = 0$ , considerando hacia en mi s.r hacia abajo el sentido positivo:

$\dst -k\Delta x -k\Delta x + mg = 0$

$\dst 2k\Delta x = mg$

Resultado que diste previamente, pero entonces hay que considerar que el sistema esta en equilibrio cuando se pone vertical (la esfera queda en reposo). Porque no empieza a oscilar? pensé que en el momento de ponerlo en vertical la masa empezaría a oscilar de arriba a abajo, y que lo que me pedían era el punto de "equilibrio" de la oscilación.

Pero entonces, el sistema oscila o no oscila al ponerlo en vertical ? (si sí oscila de que punto de equilibrio me hablan?, si no se tienen en cuenta fuerzas disipativas, la esfera oscilara siempre.)

respecto a la pregunta adicional

el peso que considero no es el del muelle sino el de la esfera (una esfera colgando de un muelle)

$\dst mg - kx = m \ddot{x}$

$\dst \ddot{x} + \left( \frac{k}{m} \right)x = g$

ese planteamiento de la dinámica de una esfera colgando de un muelle (y oscilando) es correcto?

agradezco su orientacion.

[[Beto]]

Re: Sistema de resortes

Efectivamente el sistema empezará a oscilar, pero en torno a la posición de equilibrio calculada.

Respecto al punto adicional la masa si esta involucrada en la frecuencia de oscilación, no es un péndulo simple para que no dependa de la masa.

[juantv]

Re: Sistema de resortes

Aun así no veo el porque empiece a oscilar en torno a el punto en el que comienzan a actuar las fuerzas restauradoras, se que el punto esta algo abajo de la mitad del cilindro, pero no veo que oscile en torno a el, ese punto parece mas uno de los extremos de la oscilación. :/

respecto a la pregunta adicional mi duda es si el termino independiente $\dst g$ esta bien en la ecuación $\dst \ddot{x} + \left( \frac{k}{m} \right)x = g$ , dado que he visto que la expresion de este tipo de movimientos es $\dst \ddot{x} + \left( \frac{k}{m} \right)x = 0$.

Agradezco su orientación.

[[Beto]]

Re: Sistema de resortes

Sobre la parte adicional estás haciendo mal la deducción del M.A.S. vertical. Tienes que tomar en cuenta que cuando lo colocas en posición vertical la nueva posición de equilibrio está $\Delta \ell=mg/k$ más abajo de la longitud natural del resorte, ahora si respecto a esa nueva posición de equilibrio usas la segunda ley de Newton tienes que:

$$mg-k(\Delta\ell+x)=m\ddot x$$

luego tienes que reemplazar la primera ecuación en la segunda y obtienes la ecuación de un M.A.S

Para III ... nota que la posición de equilibrio es aquella donde la partícula está en equilibrio, no puede ser la misma posición donde inicia el movimiento sino en donde la suma de fuerzas es nula, los movimientos oscilatorios no siempre inician en la posición de equilibrio.

[juantv]

Re: Sistema de resortes

Creo que he entendido lo de la ecuación del M.A.S de la pregunta adicional.

respecto a III, la posición de equilibrio es aquella donde la suma de fuerzas es nula, entonces esta a una distancia $\dst \Delta x$ ($\dst \Delta x= \frac{mg}{2k}$ ) de la mitad del cilindro hacia abajo(es esto cierto ?) cuando alcanza esa $\dst \Delta x$ invierte su movimiento hacia arriba, con lo que debe haber tambien otra posicion de equilibrio de la mitad del cilindro hacia arriba. Entonces el cilindro oscila de $\dst x + \Delta x$ a $\dst x - \Delta x$ ? , algo de lo que he dicho es cierto?

PD: si estoy totalmente erróneo, excúseme pues no logro verlo tan claro

[[Beto]]

Re: Sistema de resortes

No, lo que sucede es que cuando llega a $\Delta x$ sigue avanzando hasta que su velocidad sea nula y la fuerza sea maxima, recuerda que en la posición de equilibrio de un M.A.S el cuerpo no está en reposo.

[juantv]

Re: Sistema de resortes

Para la parte tres basta que notes que al ubicar al sistema en posición vertical la masa tiende a ir hacia abajo (por causa de la gravedad), luego el resorte de arriba tiende a tirar de la masa para recuperar su longitud natural y el resorte de abajo lo empuja por el mismo motivo, es por ello que la nueva posición de equilibrio será aquella donde $2k(\Delta x)=mg$, donde ese $\Delta x$ es la distancia que la masa se ha desplazado hacia abajo.

Si esa $\dst \Delta x$ se dedujo para la posición de equilibrio $\dst \sum F = 0$ (reposo o velocidad constante)

$<br /> \dst -k\Delta x -k\Delta x + mg = 0$

$<br /> \dst 2k\Delta x = mg$

no entiendo por que sigue mas alla de $\Delta x$, si en $\Delta x$ esta en reposo.

[[Beto]]

Re: Sistema de resortes

No está en reposo, su velocidad es máxima.

- - - Actualizado - - -

Además recuerda que la suma de fuerzas sea cero no implica velocidad constante pues esa suma de fuerzas es cero solamente en un punto.

[juantv]

Re: Sistema de resortes

Entonces de que forma se obtiene $2k(\Delta x)=mg$ si no se puede considerar $\sum F = 0$ , y como saber cual es el punto de equilibrio. Ahora si no entiendo nada

[[Beto]]

Re: Sistema de resortes

En ese instante la suma de fuerzas es cero, por eso se le llama punto de equilibrio, si se se aleja un poco de esa posición la fuerza crecerá proporcionalmente a la distancia que se aleje, ese es el comportamiento que caracteriza a una fuerza que origina un M.A.S.

- - - Actualizado - - -

El movimiento es más o menos así:

1. Una vez esta en posición vertical la masa baja y aparece la fuerza elástica hacia arriba como reacción.
2. La masa sigue bajando mientras la bola no se detenga.
3. Hay un momento en que la fuerza elástica es igual al peso, pero ahí la velocidad es máxima no cero, esa es la posición de equilibrio.
4. La bola sigue bajando, pero empieza a desacelerar.
5. En un momento dado su velocidad es cero, a partir de allí empezará a subir nuevamente.


Como te puedes dar cuenta ese último punto no es la posición de equilibrio, es un punto que está aún más abajo.

[juantv]

Re: Sistema de resortes

Respecto a la pregunta adicional, yo me refería solo a una masa colgando de un muelle de longitud natural $l$ por tanto la fuerza restauradora sera $f = - k x$ siendo $x$ la elongación. entonces seria

1) $mg - kx = ma$

o

2) $mg -k( l+ x) = ma$


cual es la correcta?

porque en $\dst mg-k(\Delta\ell+x)=m\ddot x$ consideras la longitud natural del resorte? , no se supone que solo hay que considerar la elongación $\Delta\ell$?

agradezco su orientación.

[[Beto]]

Re: Sistema de resortes

$x$ no es la longitud natural del resorte, la elongación total es $\Delta x_T=\Delta \ell+x$, donde $\Delta \ell$ es la elongación del resorte hasta el punto en donde la masa se encontrará en equilibrio (nota que esto es una constante por eso $\Delta \ddot x_T=\ddot x$), y $x$ es la elongación extra respecto a esa posición que es la de equilibrio.

En estos problemas siempre se toma como sistema de referencia la posición de equilibrio, si te ubicas siempre en donde se inicia el movimiento del resorte tendrás constantes sobrantes, que no son problema pero la ecuación no se ve bonita, es decir no tiene la forma usual del M.A.S.

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Piensa en lo siguiente: ¿Qué pasaría si estiras el resorte justamente una longitud $\Delta \ell$ cuando está en posición vertical? ¿oscilará?

[juantv]

Re: Sistema de resortes

Como deduces $\dst 2k(\Delta x)=mg$ , y como saber cual es el posición de equilibrio?

respecto a lo otro, el enunciado dice que $\dst x$ es la longitud natural del resorte