Sistema de resortes

[[Beto]]

Re: Sistema de resortes

La posición de equilibrio es el punto en el cual la suma de fuerzas resultantes es cero, entonces $F_{elastica}=\text{Peso}$, por lo tanto $2ky=mg$ el 2 aparece debido a los dos resortes (coloqué y para evitar confundir con la longitud natural del resorte).

Respecto al otro, no me percaté de esa parte, pero de ser así cambia el $x$ que yo puse por $y$ y las confusiones se solucionan

[juantv]

Re: Sistema de resortes

De acuerdo a tu explicación

El movimiento es más o menos así:

1. Una vez esta en posición vertical la masa baja y aparece la fuerza elástica hacia arriba como reacción. (entendido)
2. La masa sigue bajando mientras la bola no se detenga. (entendido)
3. Hay un momento en que la fuerza elástica es igual al peso, pero ahí la velocidad es máxima no cero, esa es la posición de equilibrio. (si la fuerza elástica es igual al peso, porque no se detiene? )
4. La bola sigue bajando, pero empieza a desacelerar.
5. En un momento dado su velocidad es cero, a partir de allí empezará a subir nuevamente.

Porque en la posición de equilibrio la suma de fuerzas es cero, la velocidad es máxima, y el cuerpo esta en movimiento, como ver que esta debajo de la mitad del cilindro?

[[Beto]]

Re: Sistema de resortes

La suma de fuerzas es cero en la posición de equilibrio por que de no ser así no se podría llamar posición de equilibrio y esta se ubica justamente debajo de la mitad del cilindro porque:

Arriba no podría estar debido a que la fuerza neta apuntaría hacia abajo.
A la mitad no podría estar porque el peso tira de la bola hacia abajo, no se puede quedar en su mismo lugar.
Por lo tanto está abajo.

Si aún así no visualizas bien el ejercicio, intenta conseguirte un par de resortes. o un resorte, nota que este ejercicio no es muy diferente si se tratase de una bola colgada de un resorte de constante $2k$.

En la posición de equilibrio la aceleración del movimiento es cero, y la velocidad es máxima por ese motivo el cuerpo no se detiene, recuerda que si la fuerza instantánea es nula no implica que la velocidad también lo sea, matemáticamente significa que si la derivada de una función en un punto es cero, la función no tiene porque serlo (quizás eso te ayude a comprender mejor el sistema).

[Breogan]

Re: Sistema de resortes

Hola:

Como te dijo Beto el punto de equilibrio es donde las fuerzas están en equilibrio, en este punto la aceleración es cero (donde esta cambia de signo), y la velocidad es máxima.

Que la fuerza resultante sobre la masa sea nula solo implica que su aceleración es nula (por Newton), y que su velocidad es constante (evaluados en ese punto).

Por otra parte (lei todo el post), y solo por buscarle la quinta pata al gato, este es un problema clásico donde para resolver inequívocamente el problema, se debe indicar claramente que enfoque se debe usar, clarifico:

Si considero que lo giro muy lentamente, pasando por estados de equilibrio cuasiestatico, este es un problema de estática y no hay oscilaciones.

Si considero que lo giro en un tiempo nulo, la masa permanece en la misma posición inicial hasta que esta vertical, y detenido el sistema en esta posición la masa comienza un movimiento oscilatorio, resultando un problema dinámico.

Ahora si considero que existe una velocidad angular definida, ya se trata de un problema de dinámica mezclado con MCU.

Esto en este problema puede no ser relevante (el punto de equilibrio es el mismo en los 3 casos que se me ocurrieron), pero para obtener una respuesta acertada y en un tiempo razonable es indispensable señalar el marco de estudio, y las aproximaciones a usar (siempre y cuando se pueda).

Suerte

[juantv]

Re: Sistema de resortes

haber que he entendido,

al ponerlo en vertical la masa desciende a causa del peso hasta llegar al punto en el cual se equilibran las fuerzas, al llegar a ese punto la masa llega con una cierta velocidad, por lo que continua su movimiento, así mismo, empieza a actuar la fuerza restauradora hacia arriba, que hace devolver la masa, vuelve a pasar por el punto de equilibrio, con cierta velocidad(como saber que no es nula?), por lo que continuara su movimiento hacia arriba momento en el cual actúa la fuerza restauradora hacia abajo, y se repite el proceso.

en el momento en que se ha puesto hacia abajo, el peso es mayor que las fuerzas restauradoras hacia arriba, es por esto que el cuerpo desciende hasta que se equilibren las fuerzas, cuando se equilibran las fuerzas, el cuerpo trae una velocidad es por esto que continua su movimiento y no queda en reposo en la posición de equilibrio .

¿lo que he dicho esta bien?

¿como saber cuanto vale el valor de la velocidad del cuerpo la primera vez que pasa por el punto de equilibrio( motivo por el cual continua su movimiento)?

[[Beto]]

Re: Sistema de resortes

¿como saber cuanto vale el valor de la velocidad del cuerpo la primera vez que pasa por el punto de equilibrio( motivo por el cual continua su movimiento)?

Pues hay dos formas, puedes encontrar la ecuación de movimiento a partir de la ecuación diferencial del M.A.S y las condiciones iniciales, o también lo puedes hacer por conservación de la energía mecánica, igualas la energía mecánica inicial y la energía mecánica final.

[juantv]

Re: Sistema de resortes

Seria algo así:


Punto A: posición de la esfera cuando se ha puesto en vertical ($\dst v_A = 0$) , a una altura $\dst x$


Punto B: Posicion de equilibrio, en cual quiero saber su velocidad $\dst v_B$


$\dst x$: longitud natural del resorte


$\dst y$: elongación a la posicion de equilibrio ($\dst y= \frac{mg}{2k}$)


$\dst Ec_A + Ep_A = Ec_B + Ep_B$


$\dst 0 + mgx = \frac{1}{2} m v_B ^2 + (\frac{1}{2} k y^2 + \frac{1}{2} k y^2)$


$\dst mgx = \frac{1}{2} m v_B ^2 + k y^2$


¿Esta correcto el planteamiento?

agradezco su orientación.

[[Beto]]

Re: Sistema de resortes

¿Dónde ubicas tu sistema de referencia?

[juantv]

Re: Sistema de resortes

Si obtengo la solución a la EDO del sistema, esta describe el movimiento desde que el sistema se pone en vertical? o desde que pasa por la posicion de equilibrio?

agradezco su aclaración.

[Breogan]

Re: Sistema de resortes

Hola:

De la solución de la ecuación diferencial ordinaria obtenes la ecuación del movimiento genérico esta ecuación va a contener tantas constantes como el grado de la EDO, en una de 1º orden una cte,, en una de 2º orden dos ctes., etc. Estas constantes van a depender de las condiciones iniciales, por ejemplo en este caso, si la masa cuando llega a la posición vertical estuviera en la posición de equilibrio la ecuación seria la misma, pero las ctes harían que el movimiento fuera nulo, sino estuviera al inicio del análisis en la posición de equilibrio va a haber un movimiento oscilatorio cuya amplitud dependerá de esta posición.

En conclusión la solución de la EDO te da la función para todos los puntos (todos los tiempos), con parámetros que dependen de las condiciones iniciales.

En cuanto a las ecuaciones que pusiste, falta en el 2º miembro del balance de energía, la energía potencial de la partícula. Yo, para no tener confusiones, llamaría x a la variable que representa un punto genérico del movimiento, x0 a la longitud natural del resorte, y la deformación del resorte (que vos llamaste y) como la diferencia de x, y x0

Espero te sirva

Suerte

[juantv]

Re: Sistema de resortes

La solucion a la EDO $my''+2ky=-mg$ $\rightarrow{}$ $y''+\frac{2k}{m}y= -g$


según lo que he leído, viene dada por la solución complementaria y la particular


en la solución complementaria, me sale una expresión de la forma


$y_c = e^{\lambda t} [(C_1 i + C_2 i) \sin (\mu t) + (C_1 + C_2) \cos (\mu t)]$


$y_c = e^{\lambda t} [k_1 \sin (\mu t) + k_2 \cos (\mu t)]$


en mi caso, $\lambda = 0$ con lo que queda


$y_c = k_1 \sin (\mu t) + k_2 \cos (\mu t)]$ , $\mu = \sqrt{\frac{2k}{m}}$


pero ahí esta mi primer inconveniente, $k_1 = (C_1 + C_2) i$ como puede ser que la solución me de en números complejos?, si quiero graficar el movimiento, como hago para graficar en el plano complejo y en el plano real a la vez? ($k_1$ es un numero complejo y $k_2$ es real.)


respecto a la particular, me sale $y_p = \frac{-mg}{2k}$


por lo que quedaría


$y(t) = k_1 \sin (\mu t) + k_2 \cos (\mu t) - \frac{mg}{2k}$


$y(t) = k_1 \sin (\sqrt{\frac{2k}{m}} t) + \cos (\sqrt{\frac{2k}{m}} t) - \frac{mg}{2k}$


Es correcta la solución?, como entender esa combinación de parte real y compleja para la descripción del movimiento del resorte?


porque al sustituir $t= 0$, la posición inicial me sale $y(0) = - \frac{mg}{2k}$(osea la posición de equilibrio) sabiendo que en el instante inical la esfera deberia estar en la mitad del cilindro, apenas preparandose para bajar y alcanzar la posición de equilibrio. que debo corregir para que esto sea asi?


Agradezco su orientación.