1r ciclo Problema cinemática

[PedroAAI]

Hola, durante la resolución de un boletín me encontré con otro problema que no doy resuelto, si me podéis ayudar es el siguiente:

Un móvil tiene un aceleración directamente proporcional a su velocidad y del mismo sentido, a= kv, en donde k=2,3 s^-1. En el instante inicial v=v0, ¿ qué tiempo ha transcurrido hasta que la velocidad se triplica?¿Qué espacio recorre el móvil hasta alcanzar dicha velocidad, si v0= 11,5 m/s)

[Solución: 0,48s; 10 m]

Si sois amables me podéis indicar como resolver este problema, he intentado de varias maneras pero no me ha salido. Gracias.

[Al2000]

Re: Problema cinemática

$\dst a = \frac {dv}{dt} = k v \quad \Rightarrow \quad \int_{v_0}^{v}\!\! \frac {dv} v = k \int_{0}^{t}\!\! dt$. Te lo dejo...

Saludos,

Al

[PedroAAI]

Re: Problema cinemática

Perdona, a esto ya había llegado, pero al resolver esto me da:
log(v) -log(v₀) = kt
y no sé que hacer para poner que la velocidad se triplica, ni que paso hacer después de este, gracias por tu atención.

[FisicAlberto]

Re: Problema cinemática

Hola. Mira, este tipo de ecuaciones tiene una solución inmediata como te muestro a continuación:

La aceleración es: a=k*v Entonces a=dv/dt ------> k*v= dv/dt. Siempre que tengas una función de este tipo: d F(x)/dx=C*F(x) la solución es: F(x)= ke^Cx

En tu caso, F(x)=v y esta igualado a k(que es una constante) multiplicada por F(x).


e(número e)
k(la constante que te dan en el enunciado)

Saludos.

[oscarmuinhos]

Re: Problema cinemática

PedroAAI.....a esto ya había llegado, pero al resolver esto me da:
log(v) -log(v₀) = kt
y no sé que hacer para poner que la velocidad se triplica, ni que paso hacer después de este, gracias por tu atención.

Te ha faltado, imagino yo, poner la diferencia de logaritmos en forma de cociente y poner v=3v₀
$Ln v - Ln{v}_{0}=Ln \frac{v}{{v}_{0}}=Ln \frac{3{v}_{0}}{{v}_{0}}=kt$

Se te simplifica la velocidad inicial y ya tienes el tiempo.

Para el espacio recorrido, pones la ecuación logaritmica en forma exponencial ($v={v}_{0}{e}^{kt}=\frac{\mathrm{dx} }{\mathrm{dt}}$ ) y vuelves a integrar y llegas a la ecuación que te ponía FísicAlberto

Era eso?

[FisicAlberto]

Re: Problema cinemática

Si, tienes razón, ese es todo el desarrollo, pero en ese tipo de ecuaciones como no son muy difíciles lo más conveniente es hacerlo directamente. Te ahorras bastante tiempo la verdad. Lo unico que tienes que hacer ahora como muy bien ha dicho oscarmuinhos es sustituir una velocidad en función de otra.