1r ciclo Problema de mecánica. (fuerzas centrales, órbitas)

[Miguelvl]

¡Hola buenas!, soy nuevo en este foro pero me lo recomendó un amigo y me gustó bastante . Os comento; tengo que hacer el siguiente problema y no sé cómo empezar a encararlo, a ver si me podéis dar un consejo sobre cómo arrancar: Hallar la velocidad cuadrática media $\left< {v}^{2 } \right> \equiv \frac{1}{\tau } \int v{\left( t \right)}^{2 } dt$ (los límites de integración son $\tau$ y 0) de un planeta en su movimiento alrededor del Sol, expresando el resultado en función del semieje mayor de su órbita.

[Breogan]

Re: Problema de mecánica. (fuerzas centrales, órbitas)

Hola:

Te comento como yo lo haría.

Para hacerlo yo partiría de las ecuaciones parametricas de una elipse (con el tiempo como parámetro) , supongo que se sobreentiende que las órbitas planetarias son de este tipo (que no hay que demostrarlo).

Derivando estas ecuaciones respecto del tiempo obtengo las componentes de la velocidad del planeta en los ejes x e y.

La $v^2(t)$ que esta en la integral sale de aplicar Pitagoras a las velocidades encontradas.

Al resolver la integral tener en cuenta que $\tau$ es el periodo, tiempo en que tarda en dar una vuelta completa.

No lo hice, pero creo que siempre te va a quedar en función de los valores de los dos semiejes, a lo sumo lo podes dejar expresado como función del semieje mayor y la excentricidad. No se !!

Suerte

[Miguelvl]

Re: Problema de mecánica. (fuerzas centrales, órbitas)

¡¡Muchas gracias!!, lo hice así y salió bastante sencillo. Pero para expresar las ecuaciones paramétricas en función de t tengo que asumir que la velocidad angular es constante cosa que no es cierto por lo que no sé yo si estará bien. Creo que tengo que usar la velocidad areolar en vez del angular pero no se me ocurre cómo relacionarla con el ángulo.

[Breogan]

Re: Problema de mecánica. (fuerzas centrales, órbitas)

Ups!!

Tenes razón, se me paso por alto, te pido disculpas, mea culpa. En un par de horas, posteo una solución mas adecuada. Gracias

Suerte

- - - Actualizado - - -

Hola:

Tarde y a medias, pero cumplo. Me dio varios dolores pero al final creo que me acerque a la solución.

Si planteamos la ecuación de la energía mecánica para el sistema, considerando que la masa mayor no se mueve, por lo cual no tendrá energía cinética, y que los cuerpos no rotan, tendremos:

$\dst E_M\ =\ E_c+E_p\ =\ \frac 1 2 mv^2-\frac {GMm}{r}$

La energia mecanica permanece constante en toda la orbita, por lo cual derivandola e igualando esta derivada a cero nos da:

$\dst mv \frac {dv}{dt}+\frac {GMm}{r^2}\frac {dr}{dt}=0$

sabiendo que $\dst v=\frac {dr}{dt}$ reemplazando y reagrupando:

$\dst \frac {dv}{dt}=-\frac {GM}{r^2}$

Multiplicamos ambos miembros por dr:

$\dst \frac {dv}{dt}\ dr=-\frac {GM}{r^2}\ dr$

$\dst v dv\ =\ -\frac {GM}{r^2}dr$

Integrando esta ecuacion

$\dst v^2\ =\ \frac {2GM}{r}+K$

Para el sistema el momentto angular es constante:

$\vec{L}=\vec{r}\times\ m \vec{v}$

Como no lo dije antes lo aclaro, el sistema de coordenadas usado es polar, con origen en el foco donde esta la masa mayor M.
Por el SR usado hay dos puntos donde el vector posición r es perpendicular al vector velocidad tangencial v, y es donde la elipse corta al eje mayor de ella. En esos dos puntos podemos decir que:

$L_1=mv_1(a+c)=L_2=mv_2(a-c)$

y en esos mismos puntos usando la ecuación hallada anteriormente, las velocidades nos dan:

$\dst v_1=\frac {2GM}{(a+c)}+K$
y
$\dst v_2=\frac {2GM}{(a-c)}+K$

de estas dos ultimas ecuaciones y de la obtenida de la conservacion del momento engular obtenemos K:

$\dst K=-\frac {GM}{a}$

Por lo cual la velocidad cuadrática instantánea queda:

$\dst v^2\ =\ \frac {2GM}{r}-\frac {GM}{a}$

$\dst v^2\ =\ 2GM (\frac {1}{r}-\frac {1}{2a})$

Bueno hasta acá llegue, me fue imposible llegar a una expresión de v en función de t.

Pero creo aunque no estoy totalmente seguro ( esto lo deberá confirmar otro forero) que se cumple que:

$\dst \left< v^2(t)\right>=\frac 1 \tau\int_0^\tau v^2(t)dt=\dst \left< v^2(\theta)\right>=\frac 1 {2\pi}\int_0^{2\pi} v^2(\theta)d\theta$

Y la ecuación polar de una elipse en el SR elegido es:

$\dst r(\theta)=\frac {a(1-\varepsilon^2)}{1-\varepsilon cos \theta}$

Con esta ultima y con la que hallamos de v en función de r e integrando en toda una vuelta creo que se puede averiguar lo que piden.

Espero no haber metido la pata devuelta, seria bueno confirmar todo con alguien que sepa mas.

Suerte

[arivasm]

Re: Problema de mecánica. (fuerzas centrales, órbitas)

Hola Breogán, y demás compañeros que participáis en este hilo.

Encuentro errónea la igualación $\dst v=\frac{\dd r}{\dd t}$, que aparece en la 3ª ecuación, pues el miembro derecho sería únicamente la velocidad radial. Sin embargo, y a falta de una observación con más calma, me da la sensación de que no afecta a la expresión para v(r), pues ésta se puede obtener directamente de la conservación de la energía, es decir, creo que el cálculo ha sido un viaje de ida y vuelta, donde K es simplemente E/m.

De todos modos, para aportar algo más tendré que darle algunas vueltas. En cualquier caso, comentaré que he buscado por la red las ecuaciones horarias del movimiento elíptico, y he encontrado este pdf, del curso de Mecánica del profesor Goicolea Ruigómez, donde se indica cómo son y cómo obtenerlas. Quizá alguien pueda sacarle jugo antes que yo, y hacer un aporte significativo.

Saludos!

[Breogan]

Re: Problema de mecánica. (fuerzas centrales, órbitas)

Hola:

Gracias arivasm por tu respuesta, en ambas objeciones tenes razón. La 1º me costo un poco; pero la 2º , después de que lo dijiste, me resulto evidente. A veces ne pasa (para mi mal, demasiado a menudo) que me parezco a un perro persiguiendo su cola. Mira que esperar algo distinto de derivar una función y luego integrar esa misma derivada, a quien se le ocurre... a mi !!!!
Gracias nuevamente.

Suerte

[arivasm]

Re: Problema de mecánica. (fuerzas centrales, órbitas)

Estuve pensando en la relación que aparecía en el post #4 $\dst \left< v^2(t)\right>=\frac 1 \tau\int_0^\tau v^2(t)\dd t=\dst \left< v^2(\theta)\right>=\frac 1 {2\pi}\int_0^{2\pi} v^2(\theta)\dd\theta$ y me temo que no es correcta. En concreto, partamos de la última integral y veamos si es igual a la anterior. Por supuesto se trataría de hacer un cambio de variable:

$\dst \frac 1 {2\pi}\int_0^{2\pi} v^2(\theta)\dd\theta=\frac 1 {2\pi}\int_{\theta=0}^{\theta=2\pi} v^2[\theta(t)]\frac{\dd\theta}{\dd t}\dd t=\frac 1 {2\pi}\int_{t(\theta=0)}^{t(\theta=2\pi)} v^2(t)\dot\theta\dd t$

Como vemos, sólo coincidirá con $\frac 1 \tau\int_0^\tau v^2(t)\dd t$ en el caso particular $\dot\theta=\rm cte$.

La verdad es que me da rabia destruir y no construir, pero es mi pequeño aporte.

[Breogan]

Re: Problema de mecánica. (fuerzas centrales, órbitas)

Ok, gracias. Me lo temía.

Entonces acá llegue No es falta de voluntad, me supero...

Suerte

Pregunta: es factible hacer

$\dst v=\frac {dS}{dt}=r\ \frac {d\theta}{dt}$ implica $\dst dt= \frac {r}{v}d\theta$

de los anteriores post:

$\dst r(\theta)=\frac {a(1-\varepsilon^2)}{1-\varepsilon cos \theta}$

$\dst v^2(r)\ =\ 2GM (\frac{1}{r}-\frac {1}{2a})$

y de estas con el periodo de 2 pi y limites de integración 0 y 2 pi, hallar la integral $\dst \left< v^2(t)\right>=\frac 1 \tau\int_0^\tau v^2(t)dt$

Gracias

Suerte

[arivasm]

Re: Problema de mecánica. (fuerzas centrales, órbitas)

En realidad, $\dst\dd s^2=\dd r^2+r^2\dd\theta^2=\dd \theta^2\left[\left(\frac{\dd\theta}{\dd r}\right)^2+r^2\right]$, de manera que $\dst v^2=\left(\frac{\dd\theta}{\dd t}\right)^2\left[r^2+\frac{1}{\left(\frac{\dd\theta}{\dd r}\right)^2}\right]$. Desde luego, con la conservación de la energía, de aquí se saca la velocidad angular. Claro que quizá sea más sencillo recurrir a que el momento angular es $L=mr^2\dot\theta$.

Ahora no tengo tiempo. Intentaré algo más a lo largo del día.

Saludos!

[Miguelvl]

Re: Problema de mecánica. (fuerzas centrales, órbitas)

Al final lo que hice es pasar la ecuación de ${x}^{2}/{a}^{2}+{y}^{2}/{b}^{2}=1$ a polares, despejar r y derivar para hallar v(t). Después y no sé si estará bien, (es muy probable que sea una burrada matemática), simplifique $d\theta/dt*dt=d\theta$ e integré sobre $\theta$, saliéndome directamente el resultado en función del semieje mayor. Al final la velocidad cuadrática media $=acsc\theta$

[Pennyque]

Re: Problema de mecánica. (fuerzas centrales, órbitas)

Pero Miguelvl, pasas la ecuación de la elipse a polares, despejas r y derivas...¿respecto al tiempo? ¿Y cómo sabes la derivada de \cos\theta y \sen\theta respecto a t?

[arivasm]

Re: Problema de mecánica. (fuerzas centrales, órbitas)

Y además el resultado no puede estar en función del ángulo!