1r ciclo Trayectoria dos móviles

[PedroAAI]

Dos móviles A y B están obligados a moverse sobre dos semirrectas ortogonales OX y OY respectivamente.
Inicialmente se encuentran a distancias OA= a y OB= b y se dirigen hacia O con velocidades constantes v1 y v2. a) Determinar la ecuación de la trayectoria del punto medio P del segmento AB; b) Determinar en que instante la distancia OP es mínima.
[Sol. a) y = v2/v1*x + (b*v1+a*v2)/(2*v1) ; b) t = (a*v1+b*v2)/(v1^2+v2^2)
Si me podéis echar una mano, lo he intentado hacer utilizando el teorema de pitágoras y nada, también he pensado una forma utilizando trigonometría pero no me coincide con la solución. Si sois amables me podríais indicar camino para llegar a esta solución.

[oscarmuinhos]

Re: Trayectoria dos móviles

Coordenadas de posición del móvil A:
$\left( {x}_{A }, {y}_{A }\right) = (a-{v}_{1 }.t , 0)$

Coordenadas de posición del móvil B:
$\left( {x}_{B }, {y}_{B }\right) = (0, b-{v}_{2 }.t )$

Coordenadas del punto medio entre los móviles:
$\left( {x}_{M}, {y}_{M }\right) = (\frac{a-{v}_{1 }.t}{2 }, \frac{b-{v}_{2 }.t}{2 } )$

O sea
${x}_{M} = \frac{a-{v}_{1 }.t}{2 }$
${y}_{M} = \frac{b-{v}_{2 }.t}{2 }$

Estas dos son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria. Si, como es habitual, quieres tener la ecuación y=f(x) de la trayectoria, despejas el tiempo en la primera de estas dos ecuaciones, sustituyes en la segunda, y tienes la ecuación y=f(x) de la trayectoria del punto medio que tienes en la solución

La distancia $\bar{OP}$ viene dada por el módulo del vector $\vec{OP}.$Y si esta distancia ha de ser mínima, también lo ha de ser la distancia al cuadrado. Hallas el cuadrado del módulo del vector, derivas respecto al tiempo, igualas a cero, resuelves la ecuación y tienes el instante en que la distancia se hace mínima.
NOTA: podrías derivar el módulo en lugar del cuadrado del módulo, pero habria que derivar una raíz cuadrado y da lugar a un cálculo menos sencillo

${\left\vert{} OP\right\vert{}}^{2}= \left( {\frac{a-{v}_{1 }.t}{2 }}\right)^{2} + \left( {\frac{b-{v}_{2 }.t}{2 }} \right)^{2 }$

Derivas respecto al tiempo esta distancia al cuadrado, igualas a cero y resuelves esta ecuación y llegas a la solución que tienes en el enunciado

NOTA 1: A mi el tiempo me da lo mismo que pones tu en la solución. Sin embargo, en la ecuación de la trayectoria no me da lo mismo:

A mi me da:
${y}_{M}=\frac{{v}_{2 }}{{v}_{1} } {x}_{M}+ \frac{b{v}_{1 }-a{v}_{2 }}{2{v}_{1 }}$

NOTA: EVIDENTE QUE FALTABA ALGO. ERA QUE ESTABA FALLANDO O EDITOR

[PedroAAI]

Re: Trayectoria dos móviles

Supongo que te faltaría poner algo. jaja

- - - Actualizado - - -

Muchas gracias Óscar, pero me podías aclarar porque la componente de los vectores es igual al módulo de la distancia menos la velocidad por el tiempo $(x_A,y_A)=(0, a-v_At)$. Lo que una componente sea cero es evidente pero no entiendo lo segundo.
NOTA: Físicamente lo entiendo, a medida que pasa el tiempo la distancia disminuye debido a que el cuerpo avanza con una velocidad en el sentido contrario del vector distancia. Pero la expresión, mira que estuve un buen tiempo pensando y no me salía jaja

- - - Actualizado - - -

NOTA: a mi si me da el segundo apartado, te dejo aquí la solución por si te interesa:
$\vec{r_{total}}=\vec{r_A}-\vec{r_B}=(a-v_1t) \vec{i}+(v_2-b) \vec{j}$

$r_{total}^2=(a-v_1t)^2+(v_2t-b)^2=a^2+v_1^2t^2-2av_1t+v_2^2t^2+b^2-2bv_2t$

$\frac{dr_{total}^2}{dt}=2v_1^2t-2av_1+2v_2^2t-2bv_2$

$2v_1^2t-2av_1+2v_2^2t-2bv_2=0 \longrightarrow v_1^2t+v_2^2t=\frac{-2av_1-2bv_2}{-2}=av_1+bv_2 \longrightarrow t=\frac{av_1+bv_2}{v_1^2+v_2^2}$

[oscarmuinhos]

Re: Trayectoria dos móviles

Hola
Aplicando simplemente las ecuaciones del movimiento uniforme, con el origen de espacios en (0,0):
aceleración=0
velocidad=cte=v₁;
posición: x =x₀ + vt
Aplicando esta ecuación: x=a -v₁.t (velocidad negativa)

Lo entendiste?

[PedroAAI]

Re: Trayectoria dos móviles

ahhh claro, menuda cabeciña la mia jaja. muchas gracias Óscar

[oscarmuinhos]

Re: Trayectoria dos móviles

OJO!
Tú estás hallando la distancia entre los dos móviles y en tu enunciado no se pide eso o no es eso lo que pones.
En tu enunciado se pide la ecuación de la trayectoria del punto medio P del segmento que une los dos coches y en que momento la distancia OP (no la distancia entre A y B) es mínima.

Entendiste la diferencia?

[PedroAAI]

Re: Trayectoria dos móviles

No la entiendo muy bien, la distancia entre los dos móviles no será mínima cuando casi están juntos (casi es 0)? Si es así la distancia mínima entre los dos móviles será igual que la distancia mínima entre el origen y el punto medio que los une. Si no es así me podrías explicarlo.

[oscarmuinhos]

Re: Trayectoria dos móviles

Hola Pedro
En primer lugar, fijate en que no te piden la distancia entre los dos coches (que es lo que tu calculas), sino la distancia desde el origen de coordenadas al punto medio de la distancia entre los coches.

En segundo lugar, por que suponer que la distancia mínima entre los dos coches va a ser igual a la distancia mínima desde el origen al punto medio? Piensa, por ejemplo, que la velocidad de uno de los coches fuese cero, por ejemplo la del coche sobre el eje OX. En este caso: la distancia mínima entre los dos, está claro que sería igual a a (posición inicial del móvil A), pero la distancia al punto medio sería a/2. Lo ves ahora?

Se podría, en todo caso, pensar que en el instante en que la distancia entre los coches es mínima también lo sea la distancia OP.
Y AL REPASAR EL CÁLCULO, EFECTIVAMENTE ESTO ES LO QUE OCURRE!
DISCULPA POR EL ERROR.
DE TODAS FORMAS EL RAZONAMIENTO CORRECTO ES EL QUE TE PUSE. SI HACES EL MÍNIMO PARA LA DISTANCIA ENTRE LOS COCHES TENDRÁS QUE DEMOSTRAR A CONTINUACIÓN QUE LOS INSTANTES EN LOS QUE SE PRODUCE EL MÍNIMO DE UNA Y OTRA DISTANCIA SON IGUALES.

Por último una aclaración final: la distancia entre los dos coches será nula solo en el caso en que se crucen en el origen de coordenadas. Si no se cruzan, evidentemente nunca dicha distancia será nula.

[PedroAAI]

Re: Trayectoria dos móviles

Si lo veo claro ahora, gracias

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Seguramente fue un error de mi profesor al plantear el ejercicio