1r ciclo Tiro parabólico

[PedroAAI]

Un punto cuya posición inicial es x=0, y=b, tiene una velocidad inicial vo paralela al eje OX dirigida en el sentido positivo y está sometido a una aceleración paralela al eje OY dirigida en el sentido negativo, siendo $a_y=-k^2y$. Hallar: a) la ecuación de la trayectoria; b) la hodógrafa del movimiento; c) el tiempo transcurrido desde el instante inicial hasta que el móvil corta al eje OX.
[Sol. a) $y = b \cos{(\frac{kx}{v_o})}$ ; b) recta paralela al eje $V_y$ que corta al eje$V_x$a la distancia $v_o$; c) $t = \frac{2k}{\pi}$ ]


El ejercicio lo sé resolver perfectamente calculando las integrales. He llegado a que $t=\frac{x}{v_o}$ e integrando me da que $y=e^{\frac{-k^2t^2}{2}+\ln{b}}$ Si, me da eso jaja. y para que me de el resultado del boletín y debe ser:$y=b\cos{(kt)}$, y para esto, si no estoy equivocado, el ángulo con el eje OY debe ser $kt$. si me podéis ayudar a llegar a este valor estaría agradecido

[oscarmuinhos]

Re: Tiro parabólico

Y que ecuación integraste y como integraste?

[PedroAAI]

Re: Tiro parabólico

para $x=v_0t$ es directo, ya que $a_x=0$ y para llegar a y hice:
$a=-k^2y$

$\int_{0}^{v_y}dv_y=\int_{0}^{t}-k^2ydt \longrightarrow v_y=-k^2yt$

$\int_{b}^{y}\frac{dy}{y}=\int_{0}^{t}-k^2tdt \longrightarrow \ln{y}=\ln{b}-k^2t^2\frac{1}{2} \longrightarrow y=e^{\ln{b}-k^2t^2\frac{1}{2}}$

este fue mi razonamento

[oscarmuinhos]

Re: Tiro parabólico

Hola Pedro!
Xa me parecía que facías algo mal
Esa y que tes no segundo membro da ecuación varía co tempo e non podes sacala fora da integral como fas ti.
Destedes xa ecuacións diferenciais?

[PedroAAI]

Re: Tiro parabólico

non, aínda non. Pódesme decir, por favor, como facelo polo menos neste caso?

[oscarmuinhos]

Re: Tiro parabólico

Podemos facelo entón da seguinte maneira. Xa que non destedes ecuacións diferenciales, imos a facela en dous pasos igual que fas ti, pero tendo en conta que esa y varía co tempo

Efectivamente:
${a}_{y}=-{k}^{2}y$

Aplicamos a regla da cadea, para transformar a primeira derivada:

${a}_{y}=\frac{d{v}_{y}}{dt}=$ (regla da cadea) $\frac{d{v}_{y}}{dy}.\frac{dy}{dt}=-{k}^{2}y$

Temos en conta que $\frac{dy}{dt}={v}_{y}$ e separamos variables para integrar:

${v}_{y}.d{v}_{y}=-{k}^{2}y.dy$

Integrando a velocidade entre 0 e ${v}_{y}$ e integrando y entre b e y:
${{v}_{y}}^{2}= {k}^{2}\left( {b}^{2}-{y}^{2}\right)$

A seguinte integral:
${v}_{y}=\frac{dy}{dt}= \sqrt{{k}^{2}\left( {b}^{2}-{y}^{2}\right)}$

Separas variables e quédache unha integral trigonométrica (arco seno ou arco coseno) casi directa que seguro que che sae

E unha anotación final: ao resolver sae efectivamente a solución do boletin e non se trata, como ves, dun movemento parabólico senón dun movemento harmónico

[PedroAAI]

Re: Tiro parabólico

si que me deu o resultado, moitas grazas.

[angel relativamente]

Re: Tiro parabólico

Mozos, es estupendo que os entendáis entre vosotros en gallego. Pero las respuestas que se dan en el foro no solo buscan contentar al que pregunta sino a todos aquellos que lleguen al hilo mediante la función de búsqueda. Así que, puesto que el idioma del foro es el castellano (es la que entienden todos sus integrantes), es conveniente usarla.

Gracias.

[oscarmuinhos]

Re: Tiro parabólico

Disculpa, angel.
La verdad es que ni cuenta me di de que estaba utilizando el gallego.
De todas formas te diré que, tratándose de un tema así, con unos términos que son comunes a practicamente todos los idiomas de raíz latina y anglosajona, quienquiera que entienda el castellano entiende perfectamente el gallego que utilizamos en este hilo.
Pero tienes razón, y disculpa de nuevo. De verdad, que fue algo tan espontáneo que ni cuenta me di