1r ciclo componentes intrínsecas curva

[PedroAAI]

Sea una curva dada por las ecuaciones: x=sent, y=cost, z=t, determinar: a) el vector unitario tangente; b) el radio de curvatura; c) el vector unitario normal.
[Sol. a)[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , b) 2, c) $-\sin{t} \vec{i} - \cos{t} \vec{j}$ ]

Hola otra vez, siento estar pesadito hoy, pero es que mi plan para el sábado tarde fue hacer ejercicios de cinemática y me surgió alguno que otra duda jaja.
En este ejercicio empecé así:
$\vec{r}=sen(t) \vec{i} + cos(t) \vec{j} +t \vec{k}$ por lo tanto $\vec{v}= cos(t) \vec{i} - sen(t) \vec{j} + \vec{k}$

y el modulo de v: $v=\sqrt{cos^2(t) - sen^2(t) + 1}=\sqrt{cos^2(t)+cos^2(t)}=\sqrt{2}cos(t)$

por lo tanto el vector unitario tangente es:
$\vec{\tau}=\frac{\vec{v}}{v}=\frac{1}{\sqrt{2}cos(t)}(cos(t) \vec{i} - sen(t) \vec{j} + \vec{k})$ que no me coincide con la solución
me podéis decir si estoy haciendo algo mal?

En el segundo apartado debo calcular el radio de la forma $r=\frac{v^2}{a_n}$???
y en el último apartado porque coincide la aceleración normal con la aceleración total?

[oscarmuinhos]

Re: componentes intrínsecas curva

Que estás haciendo mal? (nos dicen los compañeros del foro que debemos utilizar el castellano)
Algo tan elemental como tu fallo del ejercicio anterior.
Pero de esta vez, voy a dejar que lo descubras tu solo.
Simplemente te diré que revises el módulo de la velocidad!!!

Si no encuentras el fallo, vuelve a preguntar
Suerte


b) el radio de curvatura?

Efectivamente. Calculas la aceleración normal y luego aplicas esa ecuación que tu pones

[PedroAAI]

Re: componentes intrínsecas curva

no estoy seguro, pero podría poner el módulo de la forma: $v=\sqrt{(cos(t))^2 + (-sen(t))^2 + 1}=\sqrt{1 + 1}=\sqrt{2}$?? de esta manera sí me daría la solución, pero no me convence, ya que no estoy seguro de que $(cos(t))^2 + (-sen(t))^2=cos^2(t)+sen^2(t)=1$, me lo podrías confirmar por favor. si no es así me podrías decir si hay alguna propiedad trigonométrica para convertir $v=\sqrt{\cos^2{(t)} - \sin^2{(t)} + 1}=\sqrt{1+ 1}$. Gracias por tu tiempo.

Perdón estoy equivocado, para que me dé la solución el módulo debe ser igual a $\sqrt{\frac{1}{2}}$, así que no tengo puñetera idea de que hacer jaja

[javier m]

Re: componentes intrínsecas curva

$(cos(t))^2 + (-sen(t))^2=cos^2(t)+sen^2(t)=1$

Eso es correcto. Mira:

$(-\sin (t))^2=(-1 \cdot \sin (t))^2=(-1)^2 \cdot (\sin (t))^2=1\cdot(\sin (t))^2=\sin^2 (t)$
Es una falla en algebra.

El modulo de la velocidad sí es $\sqrt{2}$

Perdón estoy equivocado, para que me dé la solución el módulo debe ser igual a $\sqrt{\dfrac12}$, así que no tengo puñetera idea de que hacer jaja

Cuando tomaste el modulo como $\sqrt{2}$, seguramente llegaste a esto:

$\vec{\tau}=\frac{\vec{v}}{v}=\frac{1}{\sqrt{2}}(cos(t) \vec{i} - sen(t) \vec{j} + \vec{k})<br />$

Pero, es que $\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Y así te queda la solución que es (Aunque creo que la copiate mal)

y en el último apartado porque coincide la aceleración normal con la aceleración total?

porque la aceleración tangencial es 0, debido a que $v=\sqrt{2}$ es constante.

[angel relativamente]

Re: componentes intrínsecas curva

En efecto, es eso último que haces. El menos queda dentro del cuadrado, y al elevar al cuadrado es positivo.
Y fíjate que sí obtienes la solución correcta, pues al dividir entre el módulo tienes $\dfrac{1}{\sqrt 2} \cdot (\cdots )=\dfrac{\sqrt 2}2 \cdot (\cdots )$.

Saludos,

Añadido: Javier, tan rápido como de costumbre,