1r ciclo Problema de sólido rígido, momento de una fuerza y momento de inercia

[isacampo]

Necesito ayuda con este problema. Intenté calcular primero el momento de inercia respecto al centro de masas y después apliqué la ley de Stainer pero no consigo resolver el problema. Muchas gracias por todas las contribuciones.

Dos masas de 7 kg y 4 kg respectivamente están montadas sobre una varilla que puede girar en torno al eje x, la de 4kg a 3 metros del centro de la varilla sobre el eje y y la otra a 5 metros de distancia de este centro, sobre el eje -y, y formando un angulo de 37º con respecto a la horizontal. Suponer que la masa de los brazos y del eje es despreciable. El momento de inercia de este sistema respecto al eje que coincide con el eje x es aproximadamente ¿? ¿Cúal es el momento de la fuerza resultante de los pesos respecto al origen de coordenadas, localizado en el centro de la varilla?

[arivasm]

Re: Problema de sólido rígido, momento de una fuerza y momento de inercia

¿Y no será más sencillo aplicar la definición? $I=\dst \sum_i m_i r_i^2$, es decir, 7 kg·(5 m)²+4 kg·(3 m)² = 211 kg·m².

[isacampo]

Re: Problema de sólido rígido, momento de una fuerza y momento de inercia

Es verdad, pensaba que el problema debía ser más complicado. Esa es la respusta correcta. ¿Y cómo podría hallar ahora el momento de la fuerza?
Tampoco estoy muy segura a qué fuerza se refiere, ¿es el peso la fuerza que causa el giro?

[arivasm]

Re: Problema de sólido rígido, momento de una fuerza y momento de inercia

El momento de la resultante del peso es igual a la resultante de los momentos de los pesos. Parece un trabalenguas, pero no lo es. Si las coordenadas del centro de masas de un sistema es

$$\dst\vec r_m=\frac{\sum_i m_i \vec r_i}{M}$$

donde $\dst M=\sum_i m_i$ es la masa total,
el momento de la resultante de los pesos del sistema respecto del origen será

$\dst \vec \tau =\vec r_m\times M\vec g=M\vec r_m\times\vec g$

Pero por (1)

$\dst\vec\tau=\sum_i m_i\vec r_i\times g=\sum_i \vec r_i\times(m_i\vec g)=\sum_i \vec \tau_i$

Por supuesto, si esto se cumple con los momentos de los pesos respecto de un punto, sucederá lo mismo con los momentos respecto de un eje (que son las proyecciones de los primeros sobre el eje).

Por tanto, tienes dos alternativas:

• Calcular el peso (resultante de los pesos) del sistema (eso es inmediato), determinar la posición del centro de masa (tampoco es complicado, pero si algo más que el peso), encontrar el momento del peso respecto del eje (más rollo, pero tampoco para reventar, sobre todo si usas vectores, calculas el producto vectorial y te quedas con la componente X)
• Calculas el momento de cada uno de los pesos (sencillo), los sumas (tirado).

El resultado deberá ser, si no me equivoco, 156 N·m (con g=9,8 m/s²).