Otras carreras Punto de liberación

[Aer]

Buenas, a ver si alguien me puede echar una mano con este ejercicio. Es muy sencillito pero no sé qué estaré haciendo mal.
El enunciado:
Una partícula P de masa m se mueve a lo largo de una línea recta que pasa por el punto O, de forma que en cada instante |OP| = x.
Cuando x > a la partícula es atraída hacia O por una fuerza de módulo $mk/x^2$; cuando x < a, la partícula es repelida desde O por una fuerza cuyo módulo es $mak/x^3$. Si la partícula es liberada desde el reposo en un punto cuya distancia a O es 2a, hallar el tiempo empleado por la partícula en viajar desde x= a hasta el punto de retorno.

A ver, el punto de retorno creo que lo hallo sin problemas:
Para ello calculo las funciones potenciales asociadas a la fuerza que según un sistema de ejes situados en O en la dirección Oa nos queda

$F = \left\{\begin{matrix}-\dfrac{mk}{x^2} \;\;\;\;\; x > a \\<br /> \dfrac{mak}{x^3} \;\;\;\;\; x < a<br /> \end{matrix}\right.$

Por tanto
$<br /> F = - \nabla V \rightarrow V = <br /> \left\{\begin{matrix}<br /> -\dfrac{mk}{x} + C_1 \;\;\;\;\; x > a \\<br /> \dfrac{mak}{2x^2} + C_2 \;\;\;\;\; x < a<br /> \end{matrix}\right.<br />$

Elijo como referencia el infinito por lo que C_1 = 0 y

$V(a):\\<br /> -\dfrac{mk}{a} = \dfrac{mk}{2a} + C_2 \rightarrow C_2 = -\dfrac{3mk}{a}$

Entonces en el punto de libración o retorno tenemos E = V(x)

$-\dfrac{mk}{2a}=\dfrac{mak}{2x^2}-\dfrac{mk3}{2a} \rightarrow x = a/\sqrt{2}$

Bien, conocido el punto de libración puedo entonces calcular el tiempo:

$\dfrac{1}{2}mv^2 = E - V(x) \rightarrow dt = \dfrac{dx}{\sqrt{[E-V(x)](\frac{2}{m})}}$

$\displaystyle T = \int_0^T dt = \int_{x=a}^{x=a/\sqrt{2}}\dfrac{dx}{\sqrt{(-\frac{mk}{2a}+\frac{3mk}{2a}-\frac{mka}{2x^2})(\frac{2}{m})}}=\int_{a}^{a/\sqrt{2}}\dfrac{dx}{\sqrt{\frac{2k}{a}-\frac{ka}{x^2}}}$

Pero ahí me quedo, debo integrar eso o hay otro camino? Esa integral es fácil y no estoy cayendo? el razonamiento es correcto?

Saludos y gracias de antemano!

[Breogan]

Re: Punto de liberación

Hola:

Me parece que no podes definir una única función potencial para este campo de fuerzas ya que el campo escalar no seria continua y diferenciable en todo el dominio, podes definir una funcion potencial para cada rango (x<a y x>a). Analizando como definiste fijate que para que la función potencial en a fuera continua a ambos lados de a quedo con distinto punto de referencia. Por otra parte si eligieras el mismo punto para el potencial cero para ambos lados de a, la función potencial seria discontinua, en todos los casos no es diferenciable en a.

Para mi tendrías que analizar el movimiento separando el dominio espacial x en dos, x>a y x<a, con sus funciones potenciales independientes para cada lado, y en el punto a la condición de borde seria la no existencia de energía potencial, y la conservación de la velocidad. No me fije pero el punto a no esta incluido en ninguno de los dos dominios de la fuerza, no?.

Suerte

[Aer]

Re: Punto de liberación

Pero lo que dices es lo que he hecho no? no he usado una única función potencial, he tenido que usar una para x < a y otra para x > a . El punto de retorno es correcto, se da ahí pues tengo el resultado, lo que no sé calcular es cuanto tiempo tarda desde x = a hasta ese punto. Alguna idea de cómo calcularlo?
Gracias

[Breogan]

Re: Punto de liberación

Hola:
No por que al deducir el punto de liberación igualaste las dos funciones potenciales como si tuvieran el mismo punto de referencia de potencial 0 en el infinito, y el 2º potencial no lo tiene en infinito. Al final del post anterior ya había agregado como yo lo resolvería.


Suerte

[Aer]

Re: Punto de liberación

Para deducir el punto de libración iguale la energía mecánica con la segunda función potencial la de x < a no iguale las dos funciones. Creo que debe ser un malentendido, el punto ese creo que está que está bien calculado.
Vaya es que creo que se me olvido escribir ese paso jaja. Perdon, como te digo estoy igualando con la energía potencial que he calculado con las condiciones iniciales:
E = T + V
como parte del reposo T = 0, y V como la libera en 2a usamos la de x > a, y obtengo esa energía potencial.

[oscarmuinhos]

Re: Punto de liberación

En lo que entiendo estás yendo bien
Suerte
La integración:

$=\int_{a}^{a/\sqrt{2}}\dfrac{dx}{\sqrt{\frac{2k}{a}-\frac{ka}{x^2}}}=\int_{a}^{a/\sqrt{2}}\frac{dx}{\sqrt{\frac{2k{x}^{2 }-k{a}^{2 }}{a{x}^{2 } }} }= \int_{a}^{a/\sqrt{2}}\frac{\sqrt{a}.x.dx}{\sqrt{2k{x}^{2 }-k{a}^{2 }}}$
Un sencillo cambio de variable y ya te sale la integral

[Aer]

Re: Punto de liberación

ahhh vaya jajaja me temía eso, debo haber simplificado mal cuando la intenté hacer. Vaya tontería, pero entonces todo bien. Muchas gracias

[oscarmuinhos]

Re: Punto de liberación

Suelen pasar esas cosas....uno se enreda en una tontería sin darla visto

[Breogan]

Re: Punto de liberación

Hola:
Perdona, lo que hiciste esta bien, yo estoy liado mal con este tema. Voy a tener que ponerme a repasar antes de opinar.

Suerte

[Aer]

Re: Punto de liberación

No pasa nada, muchas gracias por tu opinión, las críticas siempre son útiles. Un saludo!