Otras carreras Radio de curvatura

[Aer]

Siempre la lío intentando hallar el radio de curvatura... En el problema que estoy resolviendo llego a esta trayectoria

$\displaystyle<br /> \vec r^B = \begin{Bmatrix}<br /> v_0t +L \cos (wt)\\<br /> L\sin (wt)<br /> \end{Bmatrix}$

No es más que un movimiento circular que se está trasladando en el eje a velocidad constante v, pero ahora cuando quiero hallar el radio de curvatura no sé que camino elegir, todos me parecen pesados jaja. Si opto por calcularlo tal que:

$\displaystyle R_k = \frac{v^2}{a_n}$

Debo hallar la aceleración normal
$\displaystyle a^2 = a_n^2 + a_t^2 \rightarrow a_n = \sqrt{a^2-a_t^2}$

Necesito el módulo de la aceleración y la aceleración tangencial, para lo que debo hallar el vector tangente.
$a^2 = L^2w^4$

Para el vector tangencial
$T = \frac{\vec v }{v}$

donde
$\vec v = \begin{Bmatrix}v_0 - Lw\sin(wt)\\<br /> Lw\cos(wt)<br /> \end{Bmatrix}$

$\displaystyle<br /> v^2 = v_0^2 + L^2w^2\sin^2(wt) - 2v_0Lw\sin(wt) + L^2w^2\cos(wt) = v^2 + L^2w^2 -2v_0Lw\sin(wt)$

$\displaystyle T = (v^2 + L^2w^2 -2v_0Lw\sin(wt))^{-1}* \begin{Bmatrix}<br /> v_0 - Lw\sin(wt)\\<br /> Lw\cos(wt)<br /> \end{Bmatrix}<br />$

y tendría que proyectar ahora la aceleración sobre esto y se me forma un minichorizo que no sé si a lo mejor se simplifica en el futuro, pero me pregunto si hay alguna vía más rápida para hallar este tipo de elementos en las trayectorias.

¿Debería seguir y se simplifica? ¿como calcularías esto?

Saludos y como siempre muchas gracias por la ayuda

[arivasm]

Re: Radio de curvatura

Quizá sea más sencillo si no desarrollas las expresiones hasta el final. Como bien dices, el movimiento puede manejarse en términos de una composición, de manera que la velocidad se puede expresar como $\vec v=\vec v_{tr}+\vec v_{cir}$, donde el primero es un término de traslación uniforme y el segundo es uno circular uniforme. La aceleración corresponderá exclusivamente con el segundo, con lo que

$\vec v\cdot\vec a=\vec v_{tr}\cdot\vec a_{cir}+\vec v_{cir}\cdot\vec a_{cic}=\vec v_{tr}\cdot\vec a_{cir}$,

pues el segundo producto es nulo por la perpendicularidad entre la velocidad y la aceleración del movimiento circular uniforme.

Así pues, tienes que $\vec v\cdot\vec a=-v_0 L\omega^2\cos\omega t$. Como $a=L\omega^2$ y

$\dst \frac{v^4}{\rho^2}=a_n^2=a^2-a_t^2=a^2-\frac{(\vec a\cdot\vec v)^2}{v^2}$,

es decir

$\dst \frac{v^4}{\rho^2}=L^2\omega^4-\frac{v_0^2 L^2\omega^4\cos^2\omega t}{v^2}=L^2\omega^4\frac{v^2-v_0^2\cos^2\omega t}{v^2}$,

de manera que puedes expresar $\rho$ en función del módulo de v, que será lo que generará el "chorizo" final, pero eso sí, de un modo algo más manejable.