1r ciclo Cálculo centro de masas

[PedroAAI]

Hallar el centro de masa del área plana representada en la figura.

[Sol. $x_G= 16 cm, y_G= 5,6 cm$ ]
Hola, pues el problema que tengo es que no tengo idea de como calcular el centro de masas de esta figura, he pensado en descomponer en un triangulo rectángulo y una intersección entre la parábola y la recta (de la que se puede calcular el área integrando) y calcular los centros de masas por separado y luego sumarlos, pero no tengo idea de como calcular el centro de masas de la segunda figura. Si me podéis ayudar estaría agradecido. Saludos.

[Aer]

Re: Cálculo centro de masas

Yo lo he hecho todo integrando pero no me termina de dar, no sé si me habré equivocado en las cuentas. La x sí me da pero la y no, a ver:

$\displaystyle<br /> \vec r_g = \frac{\int_s \sigma \vec r d s}{\int_s \sigma ds} <br /> = \frac{1}{S}\int_s \vec r ds<br />$

Primero las rectas son tales que m = 12/30, y la k = 12/30^3.

El área queda
$\displaystyle \int_0^{30}\int_{kx^3}^{mx}dydx = 90$

Ahora las coordenadas x e y

$\displaystyle \int_0^{30}\int_{kx^3}^{mx} x \; dydx = 1440$

$\displaystyle \int_0^{30}\int_{kx^3}^{mx} y \; dydx = \frac{2880}{7}$

Entonces
$x_g = 1440/90 = 16$
$y_g = 2880/(90*7) = 4.57$
Como se ve no me coincide la y, no sé por qué. A ver si ves el fallo y rematas el problema, las integrales esas son fáciles de hacer (por eso me extraña que no de... estaré metiendo la pata en otro sitio)

Suerte

[arivasm]

Re: Cálculo centro de masas

Para la figura bajo la curva que parece una parábola (pues no es x^2, sino x^3), usa que las coordenadas de su cdm serán

$\dst x_m=\frac{1}{m}\int x\,\dd m=\frac{1}{m}\sigma\int_0^{30} x y \dd x$
$\dst y_m=\frac{1}{m}\int y\,\dd m=\frac{1}{m}\sigma\int_0^{30} y y \dd x$

siendo $\sigma$ la densidad superficial (que se te irá finalmente) y $m$ la masa del área bajo la curva

$m=\int \dd m=\sigma\int_0^{30} y\dd x$