1r ciclo Cálculo momento de inercia.

[PedroAAI]

Calcular el momento de inercia de una barra delgada de masa m y longitud L respecto a un eje perpendicular a la misma y que pasa por un punto A, situado a una distancia h de uno de sus extremos. Realizar el mismo cálculo respecto a un eje que forma un ángulo con la barra. Aplicar a los casos en que A sea un extremo y A sea el centro de masa y comprobar el teorema de Steiner.
SOLUCIÓN: $m\frac{(L-h)^3+h^3}{3L} , \frac{mL^2}{3} , \frac{mL^2}{12}$ ; $m sen^2 \alpha \frac{(L-h)^3+h^3}{3L}$, $\frac{m (\sin{\alpha})^2L^2}{3}$, $\frac{m (\sin{\alpha})^2L^2}{12}$.

Hola, he pasado la tarde resolviendo ejercicios de sólido rígido y me he encontrado con este problema. En teoría en la primera cuestión debería aplicar el teorema de Steiner, y me quedaría $I=\frac{1}{2}mL^2+mh^2$, siendo $\frac{1}{2}mL^2$ el momento de inercia respecto un eje perpendicular a la barra que pasa por su extremo y h la distancia de este eje al otro citado en el enunciado. El problema que tengo es que no me coincide con la solución, me podéis decir que hago mal? Gracias.

[Breogan]

Re: Cálculo momento de inercia.

Hola:

Steiner relaciona solamente momentos baricentricos con los que no lo son .

Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Cálculo momento de inercia.

El momento de inercia de una barra respecto a un eje perpendicular que pasa por su extremo yo diría que es
$I = \frac{1}{3}.m {L}^{2}$
Y además la distancia que te da es desde un extremo; no desde el centro de masas?
Y también lo que te dice Breogán: tienes que referirte siempre al momento de inercia que pasa por el centro de masas para aplicar Steiner
Puede ser?

[PedroAAI]

Re: Cálculo momento de inercia.

Cierto Óscar, me he equivocado pero esto no altera en que no coincide con la solución. Me podéis decir por favor, si no es por Steiner, entonces como lo puedo resolver?

[Breogan]

Re: Cálculo momento de inercia.

Hola:
1º tenes que obtener el momento baricentrico por Steiner
2º Tenes que aplicar Steiner nuevamente sobre el momento hallado para obtener el del nuevo eje.

Suerte

Te reitero lo que puse en el post Nº 2

[oscarmuinhos]

Re: Cálculo momento de inercia.

El resultado del primer apartado está obtenido por integración aplicando la definición de momento de inercia y teniendo en cuenta que, colocando el eje a una distancia h de un extremo, los límites de la integración son desde -h hasta (L-h).
Puedes comprobar que efectivamente es el mismo momento de inercia que si aplicas el teorema de Steiner (OJO! como te dice Breogán: tomando el momento de inercia para aplicar Steiner en el centro de masas:
$I=\frac{1}{12}.m.{L}^{2 }+ m{\left( \frac{L}{2}-h\right)}^{2}$

Lo he comprobado y está correcto
Suerte

- - - Actualizado - - -

Y la integral que tienes que resolver:
$I=\int {x}^{2}.dm = \int {x}^{2}.\lambda. dx$ con los límites desde -h hasta (L-h) y donde $\lambda = \frac{M}{L}$

Te sale?

[PedroAAI]

Re: Cálculo momento de inercia.

Hola, perdón por tardar en contestar pero estuve ocupado estos días. He intentado hacer este ejercicio y no he entendido muy bien la explicación. Porque en el teorema de Steiner el momento de inercia de la barra es $\frac{1}{12}mL^2$ y la distancia es $\frac{L}{2}-h$??, lo siento, pero tampoco entendí porque hay que integrar desde -h a (L-h). Gracias por vuestro tiempo.

[oscarmuinhos]

Re: Cálculo momento de inercia.

He intentado hacer este ejercicio y no he entendido muy bien la explicación. Porque en el teorema de Steiner el momento de inercia de la barra es $\frac{1}{12}mL^2$ y la distancia es $\frac{L}{2}-h$??, lo siento, pero tampoco entendí porque hay que integrar desde -h a (L-h). Gracias por vuestro tiempo.

Por definición, el momento de inercia respecto a un eje:
${I}_{e }=\int {r}^{ 2}.dm$, donde r es la distancia desde el elemento de masa dm al eje
En este caso: ${ I}_{e}= \int {x}^{2}.\lambda dx$ siendo $\lambda = \frac{M}{L }$

límites de integración:
para extender la suma integral a toda la barra, si colocas el eje de coordenadas en la posición del eje de giro (que es lo más útil operacionalmente), tienes que integrar desde un extremo al otro de la barra, o sea, desde la posición ${x}_{1 }=-h$ hasta la posición ${x}_{2}= L-h$
Esta integral te da la primera de las soluciones que pones tu.

Y cuando en dicha ecuación haces h=0, tendrás el momento de inercia en h=0, es decir respecto a un eje perpendicular en el extremo de la barra: la segunda solución;
Y cuando en dicha ecuación haces h = L/2 tendrás el momento de inercia en h=L/2, es decir el momento de inercia respecto a un eje perpendicular por el centro de la barra: tu tercera solución.

Comprobar el teorema de Steiner:
"Si I_o es el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el centro de masas, el momento de inercia respecto a un eje paralelo a una distancia d viene dado por: I_A =I_o +M.d^2"

Este enunciado anterior es el teorema de Steiner. Y está claro que si h es la distancia desde el extremo de la barra, la distancia entre el eje que pasa por el centro de masas (centro de la barra) y el eje paralelo que a una distancia h del extremo de la barra es $d = \frac{L}{2 }-h$


Y solo tienes que comprobar que poniendo en el teorema de Steiner $d = \frac{L}{2 }-h$ ( obteniendo la ecuación $I=\frac{1}{12}.m.{L}^{2 }+ m{\left( \frac{L}{2}-h\right)}^{2}$ ) llegas a un resultado equivalente al obtenido de la ecuación primera resultante de la integración.

Aclarado?

[Breogan]

Re: Cálculo momento de inercia.

Hola:

Si tenes el dibujo de la barra, donde el eje x (con respecto al cual tenes que calcular el momento de inercia) pasa por el punto A a la distancia h de la base de la barra te queda el dibujo:



Aplicando la definicion de MI:

$\dst I\ =\ \int_{-h}^{(L-h)}\ y^2dm\ =\ \int_{-h}^{(L-h)}\ y^2\ \lambda dy$

$\dst I\ =\ \lambda \left[ \frac {y^3}{3}\right]_{-h}^{(L-h)}$

$\dst I\ =\ \lambda \left[ \frac {(L-h)^3}{3}-\frac {(-h)^3}{3} \right]$

Si no me equivoque de la ultima sale lo que te piden sabiendo que $\dst \lambda\ =\ \frac m L$

Asi obtenes el MI con respecto a un eje cualquiera desplazado h, si reemplazas h por L/2 obtenes el momento baricentrico, si reemplazas h por 0 lo obtenes con respecto al eje que pasa por su extremo. Entre estos dos momentos aplicas Steiner para ver si se verifica.

Hacelo y despues seguimos con la otra parte si no te sale.

s.e.u.o.

Suerte

PD: veo que oscar se me adelanto (como de costumbre..), mi mecanografia es very bad.... Saludos

[PedroAAI]

Re: Cálculo momento de inercia.

Muchas gracias, el problema que tenía era el planteamiento. Ya que situaba la barra en el eje Y a una distancia h del origen, ponía el punto A en el origen y calculaba el momento de inercia respecto un eje paralelo al Z que pasaba por el extremo más cercano al origen.
De esta forma: