Otras carreras Cálculo de energía mecánica

[Aer]

Hola, estoy bastante perdido cuando me dicen que calcule la energía mecánica y aparecen fuerzas de reacción vincular que sí realizan trabajo... Sólo sé calcular la energía mecánica cuando en el sistema actúan fuerzas gravitatorias o elásticas o fuerzas de reacción vincular perpendiculares al movimiento, os pongo el problema que estoy tratando de resolver pero que no tengo manera de empezar pues como os digo no tengo claro que debo calcular. Aprovecho para preguntar cual es la definición más concreta de energía mecánica, porque cuando me dicen que la calcule no tengo claro que me están pidiendo... la T + V? pero en estos casos en los que hay otras fuerzas, hay que tenerlas en cuenta?

Enunciado:
Un sistema mecánico está formado por :
-un tubo hueco de masa y diámetros despreciables que en todo instante forma un ángulo de 45 grados con el plano horizontal
-una partícula de masa m que está obligada a moverse sin rozamiento por el interior del tubo
-un motor que acciona el tubo obligándolo a girar permanentemente al rededor del eje vertical con velocidad angular constante $/omega$

Se pide:

1 Calcular la energía mecánica de la partícula ¿Se conserva?
2 En t = 0 la partícula está en el origen y posee una velocidad de módulo $v_0$. Determinar para qué valores de $v_0$ existe un punto de retorno.

Tampoco tengo claro que ejes elegir... porque si uso unos cartesianos y trabajo en esféricas, no es del todo cómodo. En polares sé trabajar con la base natural, y en este problema tiene pinta que si pudiese trabajar con una base natural habría que escribir mucho menos, mi problema es que no sé como se derivan los vectores de una base natural en esféricas, aprovecho para preguntar qué sería lo más correcto para tratar este problema.

Ah, y otra duda, se podría trabajar respecto a un sistema situado en el tuvo que gire con él (sería no inercial, no?) .Respecto a esos ejes, la fuerza de reacción vincular sería perpendicular a la trayectoria y sería más sencillo si luego pudiese añadir los efectos del giro...

¡Saludos y muchas gracias!

[oscarmuinhos]

Re: Cálculo de energía mecánica

Energía mecánica?
Efectivamente: T+V siendo T la energía cinética y siendo V las suma de las energías potenciales (trabajo que solo depende del camino) asociadas a los campos de fuerza conservativo o fuerzas conservativas que haya: solo hay energía potencial para campos conservativos de fuerzas.

Trabajo de las fuerzas de reacción normales?
Recuerda que el trabajo es un producto escalar de la fuerza por el desplazamiento ($dW = \vec{F}.d\vec{r}$) y, por lo tanto, fuerzas perpendiculares al desplazamiento no realizan trabajo.

Derivada de un vector unitario? (es a esto a lo que te refieres?):
Un vector unitario tiene, por definición, un módulo constante. Así pues, si varía es porque varía en dirección y habrá por lo tanto una velocidad de giro y la derivada de un vector respecto al tiempo vendrá dada por: $\frac{d\vec{u}}{dt }$ = $\vec{\omega}\times\vec{u}$

Coordenadas a elegir?
Creo que las coordenadas esféricas serán en este caso máis fáciles de manipular

Suerte

[Aer]

Re: Cálculo de energía mecánica

Muchas gracias, ya tengo claro todo, solo debo considerar las fuerzas conservativas, en mi caso el peso. Solo una pequeña duda, en este ejercicio las fuerzas de reacción vincular sí realizan trabajo pues no son perpendiculares al desplazamiento, no? mmm Sigo sin tener claro como se manejan las coordenadas esféricas, en el caso de polares yo tengo por ejemplo

$\frac{d \vec u_r}{dt}= \vec u_\theta \frac{d\theta}{dt}$
$\frac{d\vec u_\theta}{dt}=-\vec u_r \frac{d\theta}{dt}$

lo cual simplifica mucho las expresiones en muchos casos... Aunque creo que en esféricas no se va a poder hacer así porque he tratado de derivarlos no lo que dan no se puede reemplazar por los vectores sin derivar... no sé jaja

Bueno, muchas gracias, voy a hacer el ejercicio

- - - Actualizado - - -

Perdón sí se puede,
me da esto
$<br /> \displaystyle<br /> u_r = \sin\theta \cos\phi \vec i + \sin\theta \sin \phi \vec j + \cos \theta \vec k\rightarrow<br />$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\displaystyle \frac{d\vec u_r}{dt} = \dot \theta \vec u_\theta + \dot \phi\sin\theta\vec u_\phi<br />$

Y me quedaría hacerlo para los demás vectores, es correcto lo que me da? Se podrá hacer también hallando los símbolos de christoffel pero eso me parece más pesado y todo, derivando se pueden sacar, alguien sabe si esta es la forma más cómoda de hacerlo?

Saludos

- - - Actualizado - - -

He desarrollado todos y me queda lo siguiente, por si a alguien le sirve y por si alguien le puede echar un vistazo. Es bastante fácil de recordar porque se parece mucho a polares, aunque he tenido que añadir un vector natural más... no sé si eso valdrá xD

$<br /> \displaystyle \frac{d\vec u_r}{dt}= \dot\theta \vec u_\theta + \dot\phi\sin\theta \;\vec u_\phi<br />$

$<br /> \displaystyle \frac{d\vec u_\theta}{dt} = -\dot\theta\vec u_r + \dot\phi\cos\theta\;\vec u_\phi<br />$

$<br /> \displaystyle \frac{d\vec u_\phi}{dt}= \dot\phi\;\dot{\vec {u_\phi}}<br />$

$<br /> \displaystyle \frac{d\dot{\vec {u_\phi}}}{dt} = \dot\phi \;\vec u_\phi<br />$

Donde es fácil recordar el $\dot{\vec {u_\phi}}$ pues totalmente lo contrario que sin derivar (signo cambiado y senos por cosenos, vamos su derivada xD)
$\displaystyle<br /> \dot{\vec {u_\phi}} = \begin{Bmatrix}<br /> -\cos\phi\\-\sin\phi\\0<br /> \end{Bmatrix}<br />$

$\displaystyle<br /> \vec {u_\phi} = \begin{Bmatrix}<br /> \sin\phi\\<br /> \cos\phi\\0<br /> \end{Bmatrix}$

Es bastante fácil de recordar porque se parece mucho al de polares, solo que aparece en $\vec u_\phi$ que se comporta un poco distinto...
A ver si alguien me aclara como trabajar en esféricas, porque la única opción a no usar eso es estar derivando ristras de senos y cosenos, con riesgo fallar en algún signo y liarla jeje

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Pues no resulta muy útil... es más fácil en este problema derivar y punto

[oscarmuinhos]

Re: Cálculo de energía mecánica

Yo entiendo que si no hay rozamientos las reacciones vinculares en cada punto de la trayectoria han de ser perpendiculares al desplazamiento en ese punto de la trayectoria!

[Aer]

Re: Cálculo de energía mecánica

a ver, pero que el vínculo es cinemático, realiza trabajo luego no se conserva la energía, eso esta bastante claro creo yo. Es más la variación de energía mecánica coincide con la potencia desarrolla por el vínculo en este caso. Creo que no estás considerando que hay movimiento relativo. De todas formas aún no he conseguido resolver el ejercicio xD

[oscarmuinhos]

Re: Cálculo de energía mecánica

¿A que vinculo cinemático te refieres? Yo entiendo que si la velocidad angular del tubo es constante no debe haber aceleración tangencial de la bola. Hay, claro está, una aceleración centrípeta o normal provocada por la resultante del peso y la reacción normal del tubo (y esta fuerza entiendo yo que es perpendicular, tanto al movimiento tangencial de la bola como al deslizamiento dentro del tubo).

Por otra parte, si de lo que se trata es de calcular la energía mecánica, aunque hubiera una aceleración tangencial (suponiendo que el motor comunicase al tubo una aceleración angular) esa fuerza no podría considerarse derivada de un campo de fuerzas conservativo..¿o sí?

[Aer]

Re: Cálculo de energía mecánica

Creo que nop, la fuerza de reacción no es perpendicular al movimiento. No se podría derivar de un campo conservativo pues depente del camino. Creo que ya lo he conseguido calcular, a ver si se comprueba.
Al final he pasado de coordenadas de ningún tipo y lo he resuelto como sólidos
Descompongo en dos movimientos, los ejes que tomo son :
1: eje z_1 del motor al rededor del que gira la barra
0: ejes del plano que contiene a la barra en todo instante, con el eje z_0 coincidente que el z_1 eje de rotación del motor.

Mi objetivo es encontrar la velocidad de la partícula $\vec a ^p_{21}$ como parte del sólido 2 respecto al 1.
$\vec a^P_{21}=\vec a^P_{20}+ \vec a^P_{01} + 2\vec w_{01}\times \vec v^P_{20}$
El movimiento 2 respecto al 0 no es más que la bola cayendo por el tubo trabajando en los ejes 0:
$<br /> \vec r^p_{20}=\frac{\sqrt 2}{2}\rho \begin{Bmatrix}<br /> 1\\0\\1<br /> \end{Bmatrix}_0$
Donde $\rho$ es la distancia de P a O
$<br /> \vec v^p_{20}=\frac{\sqrt 2}{2}\dot\rho \begin{Bmatrix}<br /> 1\\0\\1<br /> \end{Bmatrix}_0$
$\vec a^p_{20}=\frac{\sqrt 2}{2}\ddot\rho \begin{Bmatrix}<br /> 1\\0\\1<br /> \end{Bmatrix}_0$
Y la tontería que me ha tenido estancando un día entero, la fuerza de reacción vincular perpendicular a la barra contenida en este movimiento es conocida, y se saca al estilo de los problemas de cajas que caen por rampas (T.T)
$\vec \Phi = \begin{Bmatrix}-\Phi_0\\ \Phi_y \\ \Phi_0<br /> \end{Bmatrix}$
$\Phi _0 = \frac{1}{2}mg$

A por el movimiento del 0 respecto al 1. Es una simple rotación:
$\vec w_{01} = \Omega \vec k_0$
$\vec v^P_{01} = -\frac{\sqrt 2}{2}\rho\Omega \vec j_0$
$\vec a^P_{01} = -\frac{\sqrt 2}{2}\rho \Omega^2 \vec i_0$

Nos queda entonces
$\vec a^P_{21} = \frac{\sqrt 2}{2}\ddot \rho \begin{Bmatrix}1\\0\\1<br /> \end{Bmatrix}_0-\frac{\sqrt 2}{2}\rho\Omega ^2 \begin{Bmatrix}<br /> 1\\0\\0<br /> \end{Bmatrix}_0<br /> + \sqrt 2 \Omega \dot \rho \begin{Bmatrix}<br /> 0\\1\\0<br /> \end{Bmatrix}$
Espero no haberla liado en los cálculos xD
Entonces usando la segunda ley de Newton, nos queda:
$m\frac{\sqrt 2}{2} \begin{bmatrix}<br /> \ddot \rho - \Omega^2\rho \\<br /> 2\Omega \rho \\ <br /> \ddot \rho<br /> \end{bmatrix}<br /> = <br /> \begin{bmatrix}<br /> -\Phi_0 \\ \Phi_y \\\Phi_0 - mg<br /> \end{bmatrix}$
Algo bastante compacto muajaja. Y sustituyendo el valor de $\Phi_0$
$m\frac{\sqrt 2}{2} \begin{bmatrix}<br /> \ddot \rho - \Omega^2\rho \\<br /> 2\Omega \rho \\ <br /> \ddot \rho<br /> \end{bmatrix}<br /> = <br /> \begin{bmatrix}<br /> \frac{1}{2}mg \\ \Phi_y \\\ - \frac{1}{2}mg<br /> \end{bmatrix}$
Mierda... ahora que lo veo debo haber metido la pata por algún sitio. Lo que ahora tengo hecho es que de la última ecuación calculo el valor de $\rho$ pero ahora que veo el sistema, podría simplemente restar la primera ecuación menos la última y sale que rho es constante lo cual no coincide con el resultado integrado.... mi goso en poso.... voy a revisar los cálculos pero creo que así se podría resolver... si alguien ve donde está el fallo que me lo diga por favor. Sigo sin poder demostrar lo de que no se conserva la energía mecánica xD.
Edicción:
Se me había olvidado poner una Omega. Ya está solucionado, me equivoqué al pasarlo al ordenador

Pero aún sigue sin coincidir las solución integrada con la despejada...



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Ups ahora que lo miro, no he puesto imagen. Perdón, esto quizás aclare las cosas


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No caigo en qué está mal, estoy bastante seguro que sale ese sistema de ecuaciones... pero no es posible no?

[oscarmuinhos]

Re: Cálculo de energía mecánica

Efectivamente que el problema lo puedes resolver por movimiento relativo!
Pero una cuestión...al calcular la aceleración a₂₁ de esa manera no estás mezclando vectores de distinta base?
No estás sumando vectores unitarios del sistema móbil con vectores unitarios del sistema fijo?

[Aer]

Re: Cálculo de energía mecánica

mmm no veo donde lo estoy mezclando, podrías ser más concreto? Creo que siempre estoy usando la base 0 la móvil, pero no sé si habré metido la pata en algún sitio... la verdad que eso explicaría que el sistema de ecuaciones no tuviese sentido como creo que ocurre

[Breogan]

Re: Cálculo de energía mecánica

Hola:
Primero disculpas por colarme en el hilo.

Me parece muy interesante el problema, pero por lo menos para el punto a, me parece un poco excedido el análisis que estas haciendo, en el punto b no entiendo la pregunta a que se refiere con punto de retorno?

Para el punto a, siempre según mi criterio, solo es necesario que encuentres una expresión para la energía mecánica de la esfera cuando esta en equilibrio a una $\Omega$ dada.

Como la energía mecánica es siempre la suma de la cinética y la potencial, solo vas a tener que encontrar la altura z donde se produce el equilibrio de fuerzas sobre la esfera (que dependerá de la velocidad angular), y de ahí su radio de giro para despejar su velocidad tangencial y por ende su energía cinética. Decir que la energía mecánica no se conserva es suficiente es suficiente, no piden justificar.

Espero te sirva, y no haber dicho una tontera.

Suerte

Me entro una duda en el punto a, se conserva respecto de que?

Suerte

[Aer]

Re: Cálculo de energía mecánica

Perdón no sé si puse el enunciado concreto del ejercicio, pero es "calcula la energía mecánica y comprobar si se conserva", así que creo que tienes que calcularla para todo t, lo que no creo es que tengas que resolver el sistema de ecuaciones diferenciales, sino usar integrales primeras, pero no continúo pues el sistema que me da en mi opinión es raro (la observación que puse de que podrías despejar rho y sale constante para todo t, lo cual no creo que sea correcto...). Si calculas la energía en un instante, de poco te sirve pues como te digo, la fuerza de reacción vincular trabaja y no deriva de ningún potencial. De todas formas hoy por la tarde he pedido tutoría con el profesor, para que me resuelva el ejercicio, así que ya pondré los resultados para que los que estamos intrigados podamos descansar en paz jeje.

Saludos y gracias por leer y opinar!

[oscarmuinhos]

Re: Cálculo de energía mecánica

1) razonando físicamente, no encuentro yo cual fuerza vincular realiza trabajo: yo las veo perpendiculares a la trayectoria.?
2) te decía ayer si estabas mezclando vectores en el sistema fijo y vectores en el sistema móbil precisamente al plantear la ecuación de la dinámica.?

[Aer]

Re: Cálculo de energía mecánica

Si el vínculo se mueve la fuerza de reacción vincular trabaja. Creo que tu solo estás pensando en vínculos fijos.

Considera por ejemplo un ascensor que eleva una bola. La fuerza de reacción vincular es tal que evita que la partícula atraviese el vínculo, pero como el propio vínculo se está moviendo, está por lo tanto moviendo la partícula y trabajando sobre ella!.

Creo que te estás liando pensando que las fuerzas de reacción vincular son siempre perpendiculares a la trayectoria. Las fuerzas de reacción vincular son perpendiculares al vínculo, coincide que si no se mueve el vínculo entonces son tangentes a la trayectoria.

Las fuerzas de reacción vincular no trabajan si son lisas y esclerónomas.

En nuestro caso el vínculo se mueve y por tanto está trabajando sobre la partícula (está cambiando su velocidad, piensa en distintos valores del motor, si gira muy rápido realiza más trabajo que si va lento y no realiza trabajo si está quieto).

Espero ser más claro con este ejemplo,
Aprovecho para preguntar si alguien puede intentar sacar las ecuaciones del movimiento no se tarda ni 5 minutos si lo planteas como un movimiento relativo, a ver si le sale lo mismo pues no caigo donde estoy mezclando las bases...
Saludos!

[oscarmuinhos]

Re: Cálculo de energía mecánica

Si el vínculo se mueve la fuerza de reacción vincular trabaja. Creo que tu solo estás pensando en vínculos fijos.

Considera por ejemplo un ascensor que eleva una bola. La fuerza de reacción vincular es tal que evita que la partícula atraviese el vínculo, pero como el propio vínculo se está moviendo, está por lo tanto moviendo la partícula y trabajando sobre ella!.

Creo que te estás liando pensando que las fuerzas de reacción vincular son siempre perpendiculares a la trayectoria. Las fuerzas de reacción vincular son perpendiculares al vínculo, coincide que si no se mueve el vínculo entonces son tangentes a la trayectoria.

Yo no estoy diciendo que los vínculos tengan que ser perpendiculares a la trayectoria. Lo que digo es que en este problema tuyo, una vez que la bola dentro del tubo llega a su posición estacionaria, no veo ningún vínculo que no sea perpendicular a la trayectoria. Otra cosa, en todo caso, es mientras no se llega a esa posición estacionaria...

...me pondré a resolverlo.

[Aer]

Re: Cálculo de energía mecánica

Tienes razón, cuando se llega a esa posición estacionaria la energía mecánica no varía pues para algo es una posición estacionaria, no? A ver si consigues resolverlo suerte

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Mmm el profesor lo ha resuelto por coordenadas esféricas por si sirve de pista pero no he terminado de entender cómo... Ha desvinculado la partícula y luego ha desvinculado la varilla.