Cálculo de energía mecánica

[Breogan]

Re: Cálculo de energía mecánica

Hola:

No me gustaría que este hilo quedara así, sin una solución completa.

Dentro de mis limitaciones les alcanzo algunas ideas para su solución. No se si correctas.



Si usamos coordenadas cilindricas podemos escribir:

Vector posicion:

$\dst \vec r\ =\ r\ \hat{u_r}\ +\ z\ \hat {u_z}$

Vector velocidad:

$\dst \vec v\ =\ \frac {d\vec r}{dt}\ =\ \dot r\ \hat {u_r}\ +\ r\ \dot \theta\ \hat {u_\theta}\ +\ \dot z\ \hat {u_z}$

Vector aceleracion:

$\dst \vec a\ =\ \frac {d\vec v}{dt}\ =\ \left( \ddot r\ -\ r\ \dot \theta^2 \right)\ \hat {u_r}\ +\ \left( 2 \ \dot r \ \dot \theta \ +\ r \ \ddot \theta \right) \ \hat {u_\theta} \ + \ \ddot z \ \hat {u_z}$

$\dst \vec a \ = \ a_r \ \hat {u_r} \ + \ a_{\theta} \ \hat {u_\theta} \ + \ a_z \ \hat {u_z}$

Estas ecuaciones las saque del libro directamente.

Ahora planteo la ecuacon de la dinamica:

$\dst \sum_{i = 1}^n \ \vec F \ = \ \vec a$

Que me da lugar a tres ecuaciones:

$\dst \sum_{i = 1}^n \ {F_r}_i \ = \ m \ a_r$

$\dst \sum_{i = 1}^n \ {F_\theta}_i \ = \ m \ a_\theta$

$\dst \sum_{i = 1}^n \ {F_z}_i \ = \ m \ a_z$

Ahora recurriendo al diagrama de cuerpo libre de la particula:



y sabiendo que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y

$\dst \dot \theta \ =\ cte.$, quedan:

$\dst N_r \ = \ m \ \left( \ddot r\ -\ r\ \dot \theta^2 \right)$

$\dst N_\theta \ = \ m \ 2 \ \dot r \ \dot \theta$

$\dst N_z \ - \ P_z \ = \ m \ \ddot z$

Del diagrama de cuerpo libre se puede ver que:

$N_{zr} \ = \ N \ cos\alpha$

$N_\theta \ = \ N \ sen \alpha$

$N_r \ = \ N_{zr} \ sen \varphi$

$N_z \ = \ N_{zr} \ cos \varphi$

por lo cual

$N_\theta \ = \ N \ sen \alpha$

$N_r \ = \ N \ cos\alpha \ sen \varphi$

$N_z \ = \ N \ cos\alpha \ cos \varphi$

Con lo cual llego a un sistema de tres ecuaciones:

$\dst N \ cos\alpha \ sen \varphi \ = \ m \ \left( \ddot r\ -\ r\ \dot \theta^2 \right)$

$\dst N \ sen \alpha \ = \ m \ 2 \ \dot r \ \dot \theta$

$\dst N \ cos\alpha \ cos \varphi \ - \ P_z \ = \ m \ \ddot z$

Creo que de las dos primeras se puede obtener una ecuación diferencial en r(t), o vincular la aceleración en r con la aceleración en z ya que hay un vinculo entre ellas dado por $\varphi$. Solucionando esta por ahi se puede hallar el valor de N, no se.

Bueno, por hoy llegue hasta aca.

No se si estoy cerca o mande burradas, espero sus comentarios y sus aportes.

Suerte

[Aer]

Re: Cálculo de energía mecánica

Creo que estás muy cerca. Las ecuaciones que describen el movimiento son esas, así que en cierto modo el problema está resuelto.

El profesor siguió un camino muy parecido, aunque él no llego a plantear el sistema de ecuaciones, directamente trabajo con energía cinética y en esféricas para evitar esos cosenos y senos, pero vamos debe ser lo mismo.

Ahora lo que hizo el hombre fue desvincular la barra y calcular su momento en O, como la barra no tiene masa se le iban todas las fuerzas y sacaba información... El martes volveré a ir a hablar con él a ver si me lo vuelve a explicar y subiré la solución.

Por cierto muchas gracias por tu aporte.

Saludos!

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Ahora que caigo, a lo mejor es más sencillo, no estoy seguro si él llego a calcular la ley horaria de r, me parece que no, pero entonces no sé como calculó la energía mecánica... creo que calculó Phi en función del tiempo y uso que la variación de la energía mecánica es la potencia desarrollada por la fuerza de reacción vincular.

$\displaystyle \frac{dW}{dt} = \frac{dT}{dt} = (F_g + \Phi)\cdot v = dV + \Phi \cdot v \rightarrow \frac{dE}{dt}= \frac{d(T-V)}{dt}=\Phi \cdot v = P_{\Phi}$

Podría ser entonces otra opción buscar esa potencia en vez de r, no sé jaja