1r ciclo Problema de gravitación

[isacampo]

El problema de da un cierto planeta X, de masa M, radio R y simetría esférica, que presenta un hueco central de radio R/2, siendo el resto de la esfera de densidad uniforme. Sus habitantes han horadado un túnel que lo atraviesa de punta a punta. Me piden calcular la intesidad de campo gravitatorio y la energía potencial de una partícula de masa m en función de la distancia r al centro del planeta.

Si la densidad es constante donde hay masa, esta deberá ser proporcial al volumen. El volumen total es 7/6*pi*R^3. ¿Cómo tengo que proceder a partir de aquí?
¿He de considerar que el campo es el mismo que el producido por una masa en el centro de esta esfera con un hueco central? ¿Dentro del hueco la intesidad de campo gravitatorio es nulo y dentro de la esfera aumenta linealmente con el radio?

Gracias por la ayuda!

[arivasm]

Re: Problema de gravitación

Es cierto que el campo en el hueco será nulo, pero no que luego variará linealmente. Una manera sencilla de verlo consiste en superponer a una esfera maciza de la misma densidad que la del problema con una "antiesfera" de radio R/2 y la misma densidad. Para R/2<r<R el campo de la primera será $\dst g_1=\frac{4}{3}\pi G\rho r$, mientras que el de la segunda será $\dst g_2=\frac{1}{6}\pi G \rho \frac{R^3}{r^2}$, con lo que el campo que te piden será $\dst g=\frac{1}{6}\pi G \rho r\left(8-\frac{R^3}{r^3}\right)=\frac{1}{7}G\frac{M}{R^3}r\left(8-\frac{R^3}{r^3}\right)$.

Otro enfoque posible pasa por recurrir al teorema de Gauss, $\dst\oint\vec g\cdot\dd\vec S=-4\pi G m(r)$, usando como gaussianas esferas concéntricas con el planeta.

Con respecto a la energía potencial, una vez que tengas el campo determínala mediante $U=-\int m\vec g\cdot\dd\vec r=m \int g(r)\dd r$. Eso sí, recuerda que debes elegir un cero (el centro del planeta será una elección cómoda*) y determinar con esa condición la constante de integración.

*Otra alternativa es recurrir al usual cero en el infinito. En tal caso, puedes determinar la constante de integración usando el valor de la energía potencial, con esa referencia, para el caso en que la masa esté en la superficie: $U_s=-G M m/R$.