1r ciclo Periodo de un cilindro que rueda

[Pepealej]

Tengo el siguiente problema que no logro entender exactamente como pretenden que haga el ejercicio. El problema dice así:

Hallen el periodo de las pequeñas oscilaciones de un cilindro de radio r que rueda, sin deslizar, por el interior de una superficie cilíndica de radio R.

Gracias por la ayuda

[[Beto]]

Re: Periodo de un cilindro que rueda

Ver ejercicio 8 http://www.lawebdefisica.com/problem...inRotacion.php

[Pepealej]

Re: Periodo de un cilindro que rueda

Estuve mirando el ejercicio resuelto, y llego a un resultado prácticamente igual, pero con una pequeña diferencia. A ver si me puedes echar un cable.

Empecé con el teorema de conservación de la energía:

$\frac{1}{2}mv_{CM}^2+\frac{1}{2}I\omega ^2-mgh=v_{CM}^2+\frac{1}{2}v_{CM}^2-2gh=0$

En mi ejercicio es un cilindro, por tanto $I=\dst \frac{mr^2}{2}$.

Me queda: $\frac{3}{2}v_{CM}^2=2gh$.

Ahora, $h=R-(R-r)\cos(\theta)$. Al ser $\theta\ll 1$, $\cos(\theta)\approx 1-\theta ^2/2$.
Por tanto: $h=R-(R-r)(1-\theta ^2/2)$. Como $\sin(\theta)=\frac{x}{R-r}\approx \theta$, tenemos que:

$h=R-(R-r)(1-\frac{x^2}{2(R-r)^2}=r+\frac{x^2}{2(R-r)}$.

Metiéndolo dentro:

$2gr+\frac{g}{R-r}x^2=\frac{3}{2}\dot{x}^2$

Derivando:

$\frac{2g}{R-r}x\dot{x}=3\dot{x}\ddot{x}$

De donde: $\ddot{x}=\dst \frac{2g}{3(R-r)}x$

Que es casi idéntico a la solución del ejercicio 8 de aquí. ¿Qué estoy haciendo mal? Gracias

[[Beto]]

Re: Periodo de un cilindro que rueda

En tus ecuaciones ¿qué es x?

[Pepealej]

Re: Periodo de un cilindro que rueda

Es la distancia perpendicular desde el centro de la base del cilindro hasta la vertical. Se explica mejor con un dibujo:

[[Beto]]

Re: Periodo de un cilindro que rueda

Creo que deberías de expresar la ecuación final en función de $\theta$ ... no he revisado con detalle pero el error podría estar en los pasos que se hacen para expresar todo en función de $x$

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Otra cosa que no entiendo, es para que puntos haz usado el teorema de la conservación de la energía ...