1r ciclo Duda con derivadas

[Carlos21]

El problema es el siguiente:
Dos partículas de masas M y m están unidas por un hilo inextensible de masa despreciable y longitud L. La partícula de masa m puede deslizar sin rozamiento sobre una curva de ecuación y = a cosh x/a, con el eje de ordenadas en la dirección vertical ascendente. La otra partícula puede oscilar en el plano vertical que contiene a la curva. Se pide: a) Las ecuaciones diferenciales de movimiento, y b) la tensión del hilo y la reacción de la curva sobre la partícula.

La duda es más matemática que física, puesto que nunca me han explicado como se hace algo así. Tengo 2 coordenadas generalizadas, la x para la masa m y la x y $\theta$ para describir el movimiento de la masa M. Sus ecuaciones de posición serían entonces:

$<br /> r_m = x \vec{i} + (a cosh \frac{x}{a}) \vec{j}<br /> r_M = (x + L sen\theta) \vec{i} + (a cosh \frac{x}{a} - L cos\theta) \vec{j}<br />$

Y para hallar utilizar estos datos, tengo que derivarlas 2 veces cada una para poder utilizarlas en la fórmula de Newton:

$<br /> m r''_m = ....$

$M r''_M = ...<br />$

Mi problema está en llegar a la segunda derivada parcial, porque lo de por arte de magia utilizar lo de multiplicar arriba y abajo por dx no sé por qué se hace:

$<br /> r' = \frac{dr}{dt} = \frac{\delta r}{\delta x} \frac{\delta x}{\delta t}$ Vale, pero para hallar su segunda derivada sólo se me ocurre lo siguiente y no sé si estará bien hecho:

$<br /> r'' = \frac{\delta}{\delta t} \left( \frac{dr}{dt}\right) = \frac{\delta}{\delta t} \left( \frac{\delta r}{\delta x} \frac{\delta x}{\delta t} \right)= \frac{\delta^2 r}{\delta t \delta x} \frac{\delta x}{\delta t} + \frac{\delta r}{\delta x} \frac{\delta}{\delta t}\left( \frac{\delta x}{\delta t} \right) = \frac{\delta r}{\delta x} \frac{\delta^2 x}{\delta t^2}<br />$

Gracias por vuestro tiempo!

[Elkin]

Re: Duda con derivadas

Hola,

Primero es bueno visualizar la situación, la gráfica de la función coseno hiperbólico es "parecida" a la de una parábola cóncava hacia arriba centrada en el origen. Para ver una gráfica:

http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicCosine.html

Bueno no mencionas cual es ése ángulo theta que tomas.

Así que no podría decir que tan bien está planteada la posición.

En todo caso, dices que tu duda es más matemática... Pues eso que dices no es exactamente multiplicar y dividir por una diferencial, aunque es útil verlo así. No sé, pero supongo ya habrás visto cálculo diferencial. Lo que se hace es derivar, por medio de la regla de la cadena.

http://en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule

Si vas a aplicar la segunda ley de newton, no derivas parcialmente, sino totalmente, dos veces, con respecto al tiempo.

Entonces, tienes una función r, que depende de dos variables explícitamente: x, theta. Y que depende implícitamente del tiempo.

Creo que debes dedicar algo de tiempo a entender ese tipo de derivación, te será útil este documento:

http://www.uam.es/personal_pdi/econo...licaciones.pdf

Allí aparece como derivar una vez, para derivar dos veces debes pensar un poco más.

Saldría una ecuación larguísima, que no sé que tan sencilla fuera de resolver.

[Carlos21]

Re: Duda con derivadas

De verdad, muchísimas gracias. Me centraré en entender bien este tipo de derivación.

Lo siento, no puse ningún dibujo ni especifiqué qué había tomado como theta, aquí dejo uno:

El caso es que cálculo diferencial lo estoy viendo ahora y como matemático (estoy en un doble grado de física y mates) y nos han explicado la regla de la cadena pero no de esta forma, así que en herramientas matemáticas para usar en física estoy mal.

De nuevo muchas gracias