1r ciclo Problema mecánica (sistema con polea)

[Nikola Tesla]

Hola, quería plantearos una pequeña duda con respecto a este sistema:





La pregunta es: Obtener una relación entre x1(t), R·theta (t), x2(t) y otra entre x1(t), R2, theta (t)
Se que tiene que ser algo muy simple, y más o menos intuyo la respuesta, pero no soy capaz de explicarla, ni de hallar la relación exacta entre lo que gira el cilindro y lo que avanza el sistema
Muchas gracias!

[arivasm]

Re: Problema mecánica (sistema con polea)

Edito: hay errores en este post, como se indica más adelante

Los dos radios los necesitas para el momento de la tensión de la cuerda y el de la fuerza de rozamiento, al aplicar el principio fundamental de la dinámica de rotación. Por lo que se refiere a la relación entre la aceleración $a_2$ del cuerpo de la derecha y la angular del de la izquierda tienes que $a_2=R\alpha$. Por su parte, dicha aceleración angular y la del centro del cuerpo de la izquierda se relacionan mediante $a_1=R_1\alpha$. Combinando estas dos expresiones tendrás la relación entre $a_1$ y $a_2$, que será la misma que hay entre $x_1$ y $x_2$.

[Nikola Tesla]

Re: Problema mecánica (sistema con polea)

Veo más o menos lo que dices. Para obtener la relación entre theta(t), x1(t) y R2 solo tendría que integrar dos veces la expresión que tu me has dicho (), pero en el caso de a2... He ojeado la solución (donde no explica como saca el resultado) y se obtiene que x2(t)= x1 (t) +R·theta(t). Tiene lógica mirando el enunciado y el sistema, pero sigo sin entender del todo por qué eso es así :s

[arivasm]

Re: Problema mecánica (sistema con polea)

Edito: hay errores en este post, como se indica más adelante

Pues me temo que la relación que indicas no es correcta!. Pensémoslo del siguiente modo: cuando el cuerpo de la izquierda ha girado un ángulo $\theta$, su centro habrá recorrido $x_1=R_2 \theta$. Por su parte, la cuerda se habrá desenrollado una longitud $x_2=R\theta$. De aquí se sigue que $\dst x_2=x_1\frac{R}{R_2}$, que es la misma relación a la que llegas a partir de las aceleraciones, $\dst a_2=a_1\frac{R}{R_2}$ e integrar teniendo en cuenta que las velocidades y posiciones iniciales son nulas.

[Nikola Tesla]

Re: Problema mecánica (sistema con polea)

He encontrado una explicación que dice lo siguiente:
De la formula que relaciona las aceleraciones en dos puntos del sólido rígido: \dst a_2=a_1 + \omega x \vec{r} + \omega x (\omega x \vec{r}). Tomando las componentes horizontales: \dst a_2=a_1+ \alpha · R pues \dst \omega x (\omega x \vec{r}) no tiene componente horizontal.

Esa es la explicación que se da, aunque no entiendo muy bien porque el doble producto vectorial no tiene componente horizontal en este caso.

[arivasm]

Re: Problema mecánica (sistema con polea)

Antes de nada, para que se vean las fórmulas debes precederlas de [TEX] y terminarlas con [/TEX] (además el comando TeX para el producto vectorial es \times y para el punto del producto \cdot):

He encontrado una explicación que dice lo siguiente:
De la formula que relaciona las aceleraciones en dos puntos del sólido rígido: $\dst a_2=a_1 +$$\omega \times \vec{r} + \omega \times (\omega \times \vec{r})$. Tomando las componentes horizontales: $\dst a_2=a_1+ \alpha \cdot R$ pues $\dst \omega \times (\omega \times \vec{r})$ no tiene componente horizontal.

Esa es la explicación que se da, aunque no entiendo muy bien porque el doble producto vectorial no tiene componente horizontal en este caso.

Yendo al tema, en primer lugar debo reconocer (y me fastidia no haberte ayudado adecuadamente!) que lo que te escribí anteriormente no era correcto (procedo a avisar en el post correspondiente). Ciertamente, la relación entre aceleraciones es $a_2=a_1+R\alpha$; de hecho se puede ver de una manera más inmediata que la que propones recurriendo a la composición de movimientos: $R\alpha$ es la aceleración tangencial del punto de la rueda en el que hay contacto con la cuerda, pero relativo al centro de la rueda. Como éste tiene una aceleración $a_1$ respecto del piso, la composición de las aceleraciones conduce a la expresión anterior.

Con respecto a la pregunta del doble producto vectorial ten en cuenta que $\vec \omega$ es un vector saliente del papel, con lo que $\vec \omega\times\vec r$ apunta hacia la izquierda, pues $\vec r$ es vertical. En consecuencia, $\vec \omega\times(\vec \omega\times\vec r)$ es el producto vectorial de un vector que apunta hacia la izquierda y uno que sale del papel, con lo que el resultado es vertical hacia abajo. De hecho es la componente vertical de la aceleración del punto del sólido que mencioné antes, que está descendiendo al tiempo que se mueve hacia la derecha.

[Nikola Tesla]

Re: Problema mecánica (sistema con polea)

Muchas gracias arivasm, tanto por lo del código (he estado probando códigos distintos pero no entendía por qué no se veía como yo quería como por la respuesta, ahora ya lo entiendo todo (toda la física no, pero al menos si este apartado de este ejercicio concreto jaja)

[arivasm]

Re: Problema mecánica (sistema con polea)

Espero que lo hayas leído después de las correcciones que le hice al post. He tenido problemas con la red wifi de casa y había un error en el orden de los productos.