1r ciclo Momento de inercia varilla

[PedroAAI]

Una varilla delgada de longitud L y masa m tiene una densidad variable [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] siendo x la distancia de un punto cualquiera de la varilla al extremo cuya densidad es $\lambda_o$. Calcular: a) el momento de inercia de la varilla respecto a un eje perpendicular a la misma y que pase por el extremo de densidad $\lambda_o$; b) el momento de inercia de la varilla respecto a un eje perpendicular que pase por su centro de masas.

a)
$dm=\lambda_o dL$
$I=\int x^2 dm=\int_0^L x^2 \lambda_o dx = \frac{L^3}{3}\lambda_o=\frac{L^2}{3}m$

El primer apartado creo que es así, si no lo es corregidme por favor.

b)
$x_G=\frac{\int x dm}{\int dm}=\frac{\int_0^L x \lambda dx}{\int_0^L \lambda dx}$
Integro a parte:
$\int_0^L x \lambda_o(1+\frac{x}{L})dx=\int_0^L \frac{xL+x}{L}\lambda_o dx=\frac{\lambda_o}{L} \int_0^L (xL+x)dx=\frac{\lambda_o (L^3+L^2)}{2L}=\frac{L(L\lambda_o+\lambda_o)}{2}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Por lo tanto:
$x_G=\frac{\int_0^L x \lambda dx}{\int_0^L \lambda dx}=\frac{L(L\lambda_o+\lambda_o)2}{3L\lambda_o 2}=\frac{L+1}{3}$

Hasta ahí llegué, el problema que tengo es que no sé como calcular ahora el momento de inercia desde el centro de masas, ni estoy muy seguro si está bien calculado el centro de masas, me lo podríais confirmar? Muchas gracias.

[arivasm]

Re: Momento de inercia varilla

Tienes mal la integral del numerador del cdm (te has comido un cuadrado), sería así:
$\int_0^L x \lambda_o(1+\frac{x}{L})dx=\int_0^L \frac{xL+x^2}{L}\lambda_o dx=\frac{\lambda_o}{L} \int_0^L (xL+x^2)dx=...$

Para terminar el ejercicio usa el teorema de Steiner

[PedroAAI]

Re: Momento de inercia varilla

para el teorema de Steiner tengo $I=I_c+md^2$ Despejo: $I_c=I-md^2$ y cojo como distancia el centro de masas y como momento el momento de un eje pependicular que pasa por el extremo de la varilla??
Gracias

[arivasm]

Re: Momento de inercia varilla

Correcto