1r ciclo Problema de gravitación

[isacampo]

Supongamos que un cohete se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con un medio de la velocidad de escape ¿Hasta qué distancia del centro de la Tierra llegará antes de que empiece a caer? (Suponer g = 9.8 m/s² y R_T = 6370 km)

Seleccione una respuesta.

a. 8.5 × 103 km

¿Por qué es esa la respuesta correcta? He intentaod hacerlo por energía mecánica pero me da 8/3RT.

Gracias por todas las aportaciones

[arivasm]

Re: Problema de gravitación

Por una parte tienes que $\dst v^2=\frac{1}{4}v_e^2=\frac{G M}{2 R}$. Por tanto, $\dst E=-\frac{3 G M}{4 R}=-\frac{G M}{a}$, luego $\dst a=\frac{4}{3}R$.

[Bustikiller]

Re: Problema de gravitación

Yo he llegado a la misma conclusión que arivasm de la siguiente forma:

En primer lugar, nos basamos en el principio de conservación de la energía mecánica. Así,

${E}_{MA}={E}_{ MB}$

La energía mecánica en A (lugar de lanzamiento sobre la superficie terrestre) es la suma de la energía cinética (debida a la velocidad de escape que tiene el objeto) y la energía potencial (debido a la acción del campo gravitatorio terrestre). Por otro lado, la energía mecánica en B (lugar más alto alcanzado, donde la velocidad del objeto es cero) es energía potencial, debida también a la acción del campo gravitatorio.

Por tanto tenemos:

$-G\frac{Mm}{R} + \frac{1}{2} m {v}^{2 } = -G\frac{Mm}{R+A }$

Siendo A la altura máxima alcanzada. Como la velocidad en el punto A es la mitad de la velocidad de escape,

$v=\frac{{v}_{ e}}{2 } = \frac{\sqrt{\frac{2GM}{ R}}}{2 } = \sqrt{\frac{GM}{2R }}$

Sustituyendo esta velocidad en la fórmula anterior,

$-G\frac{Mm}{R} + \frac{1}{2} m \frac{GM}{2R } = -G\frac{Mm}{R+A }$

Podemos sacar factor común y simplificar $GMm$, con lo que nos queda:

$-\frac{1}{ R}+\frac{1}{4R }=-\frac{1}{R+A }$

Que, operando las fracciones nos queda

$R+A=\frac{4R}{3 }$

Siendo $R+A$ la distancia entre el objeto en su altura máxima y el centro de la Tierra

Espero que te sirva, un saludo