2o ciclo Segunda ley de kepler

[rruisan]

Buenas tardes tengo duda con una pequeña parte de la segunda ley de kepler. En alguno libros hacen la consideración de que el vector radio, al momento de moverse donde dibuja un arco de circunferencia en un ∆r muy pequeño, tendrıamos que la ́area barrida es $dA=\frac{1}{2}rrd\theta$. ¿Cómo se deduce la ecuacion?






Habia pensado otra forma de deducir esta ecuacion anterior, nose si sea correcto como lo pense, muy burdo: decir que el area del triangulo cambia respecto al angulo de inclinacion por lo tanto tengo que $dA=\frac{1}{2}rr'd\theta$, donde r y r' son distinto por la base y altura, donde en la primera ecuacion son iguales.


Una duda mas porque en los dibujos aparece $\Delta A$ y $2\Delta A$, donde los iguala al producto cruz que significa fisicamente. Gracias de antemano.

[Physicist]

Re: Segunda ley de kepler

Muy buenas:
Es simplemente es el área de un sector circular. Aunque los planetas formen órbitas elípticas, se emplea este método.
La demostración sería la siguiente:
El área de un círculo es: $A = \pi {r}^{2}$
Es como si estuviéramos el área de un sector de $2\pi$ radianes.
Con una regla de tres relacionamos el ángulo que tu quieres con lo que ya sabemos;

$\frac{2\pi}{\theta} = \frac{\pi {r}^{2}}{A}$

Siendo A el área del sector circular y $\theta$ los radianes que quieres.
Si despejas el área te queda;

$A = \frac{1}{2}{r}^{2}\theta$

Que si lo quieres en diferencial en función del ángulo es;

$\dd{A} = \frac{1}{2}{r}^{2}\dd{\theta}$

En cuanto a lo del producto cruz, es un producto vectorial entre dos vectores, al realizarlo se haya un tercer vector perpendicular a los dos anteriores. Que al hacer el modulo de ese vector da el área.

Un saludo

[rruisan]

Re: Segunda ley de kepler

entonces mi deducción esta mal sobre el area?

[Physicist]

Re: Segunda ley de kepler

A que llamas exactamente r'? Si es a lo que en el dibujo esta puesto como $\Delta{r}$ debería se un diferencial tambien, porque esta relacionado directamente con la variación del ángulo, que en este caso es un diferencial.
Tu fórmula solo valdría para casos con un desplazamiento muy pequeño donde se puede considerar $\Delta{r}$ una recta, en el momento que quieras hallar el área con ángulos más grandes, esta recta se convierte en un sector de circunferencia y ya no tienes el triángulo