Ejercicio polea y muelle.

[azerbayan]

Re: Ejercicio polea y muelle.

Si no me equivoco la derivada seria mgv en vez de mgxv.
La energia de rotacion seria con signo positivo no?
saludos

[gdonoso94]

Re: Ejercicio polea y muelle.

Lo de la derivada ahora mismo no sabría responderte, pero la energía de rotación sí sería con signo positivo.

[Breogan]

Re: Ejercicio polea y muelle.

Hola:

No se si voy a aportar algo nuevo, pero lo voy a intentar.

Tomo el origen de coordenadas con el origen coincidente con el extremo del resorte no estirado, y planteo la ecuacion para la energia total del sistema. El eje x lo tomo para arriba:

$E_T\ =\ K_m\ +\ K_p\ +\ U_m\ +\ U_r$

donde:

$\dst K_m\ =\ \frac 1 2 \ m\ \dot x^2$ Energía cinética de la masa

$\dst K_p\ =\ \frac 1 2 \ I\ \omega^2$ Energía cinética de la polea

$U_m\ =\ m\ g\ (x_0-x)$ Energía potencial de la masa (x0 altura de la masa con el resorte sin deformación con respecto al origen)

$\dst U_r\ =\ \frac 1 2 \ k\ x^2$ Energía potencial del resorte

Teniendo en cuenta que $\dst \omega\ =\ \frac {\dot x}{R}$, la energia total queda:

$\dst E_T\ =\ \frac 1 2 \ m\ \dot x^2\ +\ \frac 1 2 \ I\ \frac {\dot x^2}{R^2}\ +\ m\ g\ (x_0-x)\ +\ \frac 1 2 \ k\ x^2$

Ahora derivamos la energía total del sistema respecto del tiempo:

$\dst \frac {dE_T}{dt}\ =\ 0\ =\ m\ \dot x\ \ddot x\ +\ \frac {I}{R^2}\ \dot x\ \ddot x\ -\ m\ g\ \dot x\ +\ k\ x\ \dot x$

Simplificando:

$\dst m\ \ddot x\ +\ \frac {I}{R^2}\ \ddot x\ -\ m\ g\ +\ k\ x\ \ =\ 0$ $\Rightarrow$ $\dst \ddot x (m\ +\ \frac {I}{R^2})\ +\ (\ k\ x\ -\ m\ g)\ =\ 0$

hacemos el cambio de variable $y\ =\ k\ x\ -\ m\ g$ resulta que $\ddot y\ =\ k\ \ddot x$

Por lo cual:

$\dst \ddot y \frac {(m\ +\ \dst \frac {I}{R^2})}{k}\ +\ y\ =\ 0$

$\dst \ddot y \ +\ \frac {k\ R^2}{m\ R^2\ +\ I}\ y\ =\ 0$

Solucionando esta ecuación diferencial homogénea se tiene la solución.

Hay que revisar sino me equivoque en alguna formula, por que lo tuve que hacer directamente en la PC.

s.e.u.o.

Suerte

[azerbayan]

Re: Ejercicio polea y muelle.

Gracias Breogan, bien explicado.

[azerbayan]

Re: Ejercicio polea y muelle.

Pongo la solucion que da la uned para este ejercicio . Lo hace mediante las fuerzas y puede servirle a la gente que no sepa resolver ecuaciones diferenciales. Es el seguno ejercicio.
Un saludo.