Otras carreras Cinemática - Velocidad en función de la posición

[asde_asd2]

Hola! Tengo que resolver el siguiente ejercicio:



Para resolverlo realicé lo siguiente:

x=0; t=0; v=50 m/s

Cuando x=100, v=0.

v queda definida por:
v(x)=50 [m/s] - x/2 [s^-1]

$v=\frac{dx}{dt }$

$dt=\frac{dx}{v }$

${}_{0 }{\int}^{t } dt={}_{0 }{\int}^{x } \frac{dx}{50-\frac{x}{ 2} }$

$t=-2 ln(50-x/2)$

Hasta ahí me parece correcto, es más lo corroboré con un ejercicio resuelto en otro lado y da igual,
el problema (que también aparece en el ejercicio que tomé como referencia) es que para x=0 t es distinto de 0.

$t(x=0)=-2ln(50)\neq 0$
y el ejercicio pide que así sea...
Pensé en agregarle un desvío al tiempo (restándole $-2ln(50)$), ya que se mantendría el comportamiento general, pero no se si ésto sería válido.

[GastonV]

Re: Cinemática - Velocidad en función de la posición

No entiendo a que te referís con desvío al tiempo, si te fijas en la integral que hiciste, es una integral definida por lo que no hay ninguna constante de integración dando vuelta, es decir, si ese desvío al que te referís es tener $t=-2 ln(50-x/2) + cte.$ dónde $cte. = -2 ln(50)$ lo estarías haciendo mal, pues fijate que te quedaría $t=-2 ln(50-x/2) - 2ln(50)$ y cuando $x=0$ tenes que $t(x=0) = -4ln(50)$.

Espero haber entendido bien lo que quisiste decir con "desvío al tiempo". Saludos.

[arivasm]

Re: Cinemática - Velocidad en función de la posición

GastonV se equivoca en que la constante de integración no será $-2\ln 50$, sino $2\ln 50$, de manera que $\dst t=-2\ln\left(50-\frac{x}{2}\right)+2\ln 50=2\ln\frac{50}{50-\frac{x}{2}}$, por lo que no hay ningún problema con que para x=0 sea t=0.

[GastonV]

Re: Cinemática - Velocidad en función de la posición

GastonV se equivoca en que la constante de integración no será $-2\ln 50$, sino $2\ln 50$, de manera que $\dst t=-2\ln\left(50-\frac{x}{2}\right)+2\ln 50=2\ln\frac{50}{50-\frac{x}{2}}$, por lo que no hay ningún problema con que para x=0 sea t=0.

Ahora sí, si tomas positivo le creo. De todas maneras no es necesaria esa constante dado que está haciendo una integración definida, desde el punto de vista matemático solo llevan constantes las integrales indefinidas. De manera tal que sin esa constante, también podría considerarse bien.

[Breogan]

Re: Cinemática - Velocidad en función de la posición

Hola:

${}_{0 }{\int}^{t } dt={}_{0 }{\int}^{x } \frac{dx}{50-\frac{x}{ 2} }$
$t=-2 ln(50-x/2)$

Esto es para asde-asd2.
Tu error esta limitado a que cuando resolves la integral definida no aplicas la regla de Barrow correctamente (ese era el Nombre?).

Aplicando esta con todos los paso, queda:

$\dst \int}^t_0\ dt\ =\ \int}^x_0\ \dst \frac{dx}{50-\dst \frac{x}{ 2} }$

$\dst \left[ \ t\ \right]^t_0\ =\ \left[-2\ ln\ (50-\dst \frac x 2) \right]^x_0$

$\dst t\ -0\ =\ \left[-2\ ln\ (50-\frac x 2) \right]\ -\ \left[-2\ ln\ (50-\frac 0 2) \right]$

$\dst t\ =\ -2\ ln\ (50-\frac x 2)\ +\ 2\ ln\ (50)$

Suerte.

PD: no revise, porque no me pareció necesario la ecuación de la velocidad que hallaste.

PD 2: opinión personal, me parece que queda mas elegante y grafico, expresar el espacio como una exponencial función del tiempo

[asde_asd2]

Re: Cinemática - Velocidad en función de la posición

Muchas gracias por responder! y sí, Breogan, la idea es luego, con lo obtenido, despejar el espacio respecto del tiempo, lo había hecho también (con el error que tenía) pero no lo copié ya que no estaba allí el error.
Gracias de nuevo por responder!