Secundaria Oscilaciones con fricción

[luiseduardo]

Hola,
Nunca resolvió el problema como este cuando se considera la fricción.
Estoy un poco indeciso sobre la resolución. Si usted conoce a alguien que me puede enseñar cómo resolver, agradecería.

"Admite que la situación allí es friccional y la pelota no se deslice. Cálculo de la frecuencia angular."
R >> r y \theta << 1

[arivasm]

Re: Oscilaciones con fricción

La fricción sólo afecta para que m pueda rotar sin deslizar-

En mi opinión el procedimiento más fácil pasa por recurrir a la conservación de la energía mecánica:

$$E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\frac{v^2}{r^2}+mgh=\rm cte$$

Si m es una esfera maciza entonces $I=\frac{2}{5}mr^2$.

Por otra parte, $v=(R-r)\dot\theta$ y, si tomamos $h=0$ en la posición inferior de la esfera, $h=(R-r)(1-\cos\theta)$. Luego

$$E=\frac{7}{10}m(R-r)^2\dot\theta^2+mg(R-r)(1-\cos\theta)$$

Como la energía mecánica se conserva, la derivada respecto del tiempo será nula. Haciendo además la aproximación $\sin\theta\approx\theta$ deberás encontrar que

$$\dst\ddot\theta\approx-\frac{5}{7}\,\frac{g}{R-r}\theta$$

y entonces que el período es

$$\dst\tau=2\pi\sqrt{\frac{7}{5}\,\frac{R-r}{g}}$$

Edito: acabo de fijarme que el enunciado dice que $R>>r$. En tal caso, donde he puesto R-r puedes poner R directamente, de manera que la solución será

$\dst\tau=2\pi\sqrt{\frac{7}{5}\,\frac{R}{g}}$

Añado: puesto que se pide la frecuencia angular, las soluciones serían, por supuesto,

$\dst\omega=\sqrt{\frac{5}{7}\,\frac{g}{R}}$

y en el caso general, correspondiente a (4)

$\dst\omega=\sqrt{\frac{5}{7}\,\frac{g}{R-r}}$