1r ciclo Sistema de referencia inercial. Experimento mental de las esferas de Newton

[gdonoso94]

Hola buenas, tengo un pequeño problema con este ejercicio que me he dispuesto a hacer un poco por mi cuenta, para conseguir entender de una forma práctica, y no teórica -ya que no lo entiendo teóricamente-, la diferencia entre un SRI y un SRNI

Me gustaría describir la dinámica de este sistema:


Desde un SRNI lo veo bastante fácil:

$T = m\frac{v^2}{r }$

Pero no lo consigo desde un SRI. Sé que es inútil describir una rotación desde un SRI, pero creo que si lo consigo ver, conseguiré entender la diferencia. Quizá se necesite algo de mecánica lagrangiana, que no he dado aún, pero si alguien puede echarme una mano se lo agradecería.

Un saludo! y gracias!

[wanchufri]

Re: Sistema de referencia inercial. Experimento mental de las esferas de Newton

Hola!

No se muy bien exactamente como es el problema, entiendo que es una cuerda de longitud R que ejerce una tensión T sobre una masa en su extremo que se mueve con velocidad angular constante, si no es así pasa de este mensaje jaja. seguramente no sea eso ya que no es tan complicado, pero es que no logro entender muy bien tu problema, no tendrías el enunciado por ahí?

Usaré un SRI cuyo eje "x" coincide con la posición de la cuerda en el instante inicial. El movimiento es en el plano XY. Usaré coordenadas polares ( R = √(x² + y²), tan[FONT=arial]φ = y/x)

La posición de la masa en un instante genérico será (en negrita los vectores):

r = R·(cos[/FONT][FONT=arial]φ·i + sen[/FONT][FONT=arial]φ·j)

La velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo:

v = [/FONT][FONT=arial]∂r/[/FONT][FONT=arial]∂t = R·(-sen[/FONT][FONT=arial]φ·i + cos[/FONT][FONT=arial]φ·j)·[/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]φ[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂t

La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo:

a = [/FONT][FONT=arial]∂v/[/FONT][FONT=arial]∂t = [/FONT][FONT=arial]∂[/FONT]²[FONT=arial]r/[/FONT][FONT=arial]∂t[/FONT]² = [FONT=arial]R·(-cos[/FONT][FONT=arial]φ·i - sen[/FONT][FONT=arial]φ·j)·([/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]φ[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂t)[/FONT]² + R·[FONT=arial](-sen[/FONT][FONT=arial]φ·i + cos[/FONT][FONT=arial]φ[/FONT][FONT=arial]·j)·[/FONT][FONT=arial]∂[/FONT]²[FONT=arial]φ[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂t[/FONT]²

El término [FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]φ[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂t es la variación del ángulo con el tiempo, lo que definimos como velocidad angular. Como la he supuesto constante, su derivada respecto al tiempo será nula ([/FONT][FONT=arial]∂[/FONT]²[FONT=arial]φ[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂t[/FONT]² = 0).

Ahora alguna nomenclatura:

Unitario en la dirección radial: Ur = [FONT=arial]cos[/FONT][FONT=arial]φ·i + sen[/FONT][FONT=arial]φ·j
Unitario en la dirección azimutal: U[/FONT][FONT=arial]₀ = [/FONT][FONT=arial]-sen[/FONT][FONT=arial]φ·i + cos[/FONT][FONT=arial]φ·j
Velocidad angular : [/FONT][FONT=arial]ω[/FONT][FONT=arial] = [/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]φ[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂t

Las ecuaciones toman la forma:

[/FONT][FONT=arial]r = R·Ur

[/FONT][FONT=arial]v =[/FONT][FONT=arial]ω·[/FONT][FONT=arial]R·[/FONT][FONT=arial]U[/FONT][FONT=arial]₀

a = -[/FONT][FONT=arial]ω[/FONT]²[FONT=arial]·[/FONT][FONT=arial]R[/FONT][FONT=arial]·[/FONT]Ur
[FONT=arial]
La tensión actúa en la dirección radial y apuntando hacia el origen.

T = -T·[/FONT]Ur

Aplicando la segunda ley de Newton:

[FONT=arial]∑F = m·a
[/FONT]
[FONT=arial]-T·[/FONT]Ur = [FONT=arial]-m·[/FONT][FONT=arial]ω[/FONT]²[FONT=arial]·[/FONT][FONT=arial]R[/FONT][FONT=arial]·[/FONT]Ur

T = m[FONT=arial]·[/FONT][FONT=arial]ω[/FONT]²[FONT=arial]·[/FONT][FONT=arial]R

si calculamos el módulo del vector velocidad:

[/FONT][FONT=arial]v =[/FONT][FONT=arial] R·(-sen[/FONT][FONT=arial]φ·i + cos[/FONT][FONT=arial]φ·j)·[/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]φ[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂t

|v| = [/FONT]√((-R·[FONT=arial]sen[/FONT][FONT=arial]φ·[/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]φ[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂t)[/FONT]² + (R·cosφ·∂φ/∂t)²) = √(R²·[FONT=arial]([/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]φ[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂t)[/FONT]²·([FONT=arial]sen[/FONT]²[FONT=arial]φ·[/FONT] +cos²φ)) = R·[FONT=arial]([/FONT][FONT=arial]∂[/FONT][FONT=arial]φ[/FONT][FONT=arial]/[/FONT][FONT=arial]∂t) = [/FONT][FONT=arial]ω·R

[/FONT][FONT=arial]|v| = v = [/FONT][FONT=arial]ω·R [/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]
Sustituyendo en la expresión:

[/FONT]T = m[FONT=arial]·[/FONT][FONT=arial]v[/FONT]²/[FONT=arial]R[/FONT]

[gdonoso94]

Re: Sistema de referencia inercial. Experimento mental de las esferas de Newton

Tengo una duda: cuando me refiero a SRI creo entender que no aparece la fuerza centrífuga a causa de la segunda ley de Newton, ¿estoy en lo cierto?

De todas maneras has llegado a la solución como si fuera un SRNI, no?

[wanchufri]

Re: Sistema de referencia inercial. Experimento mental de las esferas de Newton

No sé explicártelo muy bien, lo voy a intentar pero espero que otro forero pueda echarte un cable!

El término "[FONT=arial]ω[/FONT]²[FONT=arial]·[/FONT][FONT=arial]R" aparece al calcular la aceleración del movimiento circular respecto a ejes inerciales (partiendo del vector de posición y derivando), y por tanto ahí está, pero si me monto en el SRNI, yo vería que la cuerda esta soportando una tensión, con lo que el cuerpo en teoria debería acercarse al origen, pero no se acerca, con lo cual debe existir otra fuerza "ficticia" que está anulando este efecto (para que se verifique la segunda ley de Newton). Como al estar en el SRNI, giro con la misma velocidad angular que el cuerpo, no percibo ningún giro y por tanto la fuerza que cancela al peso la denomino "ficticia". Lo que ocurre realmente es que el objeto está girando, por tanto cambiando su velocidad, es decir, acelerándose, por tanto, soportando una fuerza, que haciendo el análisis de fuerzas en el SRNI no se puede ver.

para corregir la segunda ley de Newton en los SRNI, se suman las aceleraciones de arrastre, centrífuga y de Coriollis (en el caso mas general)

como te he dicho no se muy bien explicarlo, hace poco había un tema en el foro donde se habló:

[/FONT]http://forum.lawebdefisica.com/threads/23867-Fuerza-centr%C3%ADfuga-real-o-ficticia

y sí, llegué a la misma solución que en el SRNI, ya que si ponemos un dinamómetro en el origen en ambos SR, debe medir la misma fuerza.

[arivasm]

Re: Sistema de referencia inercial. Experimento mental de las esferas de Newton

Tengo una duda: cuando me refiero a SRI creo entender que no aparece la fuerza centrífuga a causa de la segunda ley de Newton, ¿estoy en lo cierto?

De todas maneras has llegado a la solución como si fuera un SRNI, no?

La fuerza centrífuga, o cualquier otra ficticia, sólo se introducen cuando se emplean SRNI, como "apaño" para salvar el uso de la 2ª ley de Newton (recordemos que las tres leyes de Newton sólo se cumplen en los SRI).

Entiendo que el tratamiento realizado por wanchufri ha sido empleando un SRI.

De todos modos, con respecto a este último, no es necesario el uso de coordenadas polares. Basta con consideraciones más directas: puesto que la única fuerza que actúa sobre cada masa es la tensión de la cuerda y ésta carece de componentes tangenciales, la 2ª ley de Newton aplicada a una cualquiera de las dos masas nos permite afirmar que $ma_t=0$ y $\dst T=ma=ma_c=m\frac{v^2}{r}$.

Como vemos, es completamente falsa la afirmación de que...

...es inútil describir una rotación desde un SRI

[gdonoso94]

Re: Sistema de referencia inercial. Experimento mental de las esferas de Newton

Pero siendo SRI no sería erróneo usar: $T = m a_c$?

En cuanto a lo de arivasm:

Como vemos, es completamente falsa la afirmación de que...

No quería decir que sea inútil, si no que es menos práctico.

[wanchufri]

Re: Sistema de referencia inercial. Experimento mental de las esferas de Newton

Supongo la tensión de módulo T, y siempre apuntando hacia el origen

T = T·[FONT=arial](-cos[/FONT][FONT=arial]φ·i - sen[/FONT][FONT=arial]φ·j)

Es una fuerza que va girando en mi SRI ([/FONT][FONT=arial]φ = [/FONT][FONT=arial]φ(t)). Al aplicar la segunda ley de Newton en mi SRI (cosa que puedo hacer), me queda la siguiente igualdad vectorial.

[/FONT][FONT=arial]T·[/FONT][FONT=arial](-cos[/FONT][FONT=arial]φ·i - sen[/FONT][FONT=arial]φ·j)[/FONT] = m·ω²·R[FONT=arial]·[/FONT][FONT=arial](-cos[/FONT][FONT=arial]φ·i - sen[/FONT][FONT=arial]φ·j) => T = [/FONT]m·ω²·R
[FONT=arial]
La suma de las fuerzas es igual al producto de la masa por la aceleración. La aceleración la he calculado en mi SRI en el desarrollo que hice inicialmente, en función del ángulo "[/FONT][FONT=arial]φ".[/FONT][FONT=arial]
[/FONT][FONT=arial]
[/FONT]La pregunta que debes hacerte no es "por que aparece el término m·ω²·R si es un SRI ?", sino "por que aparece el término m·ω²·R en un SRNI ?"

[gdonoso94]

Re: Sistema de referencia inercial. Experimento mental de las esferas de Newton

Vale, ya he entendido el planteamiento. Muchas gracias!!