Aproximación a movimiento armónico.

[Oleguer]

Hola,

No logro hallar los parámetros para los cuales esta función se aproxima a un movimiento armónico simple cerca de 0, la función es $U = A Sin(ax)$ (función energía potencial).

¿Puede alguien darme alguna pista?

Saludos.

[Dj_jara]

Re: Aproximación a movimiento armónico.

El sinus para angulos pequeños lo puedes aproximar por $\sin x \approx x$ en este caso la x seria ax , haciendo esa aproximación, (voy a suponer que el movimiento es unidimensional para la energía cinética (si hubiera alguna dimensión más, su velocidad en ese eje seria constante asi que me da igual)

Se puede mirar por conservación de energia:

$T + U =cte = \frac{1}{2}m\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + Aax$ ahora para que quede bonito, se deriva respecto el tiempo $m\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + Aa\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 0$ dividiendo entre $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ ya que si fuera 0 significaria que no hay movimiento, queda una ecuación diferencial de segundo orden muy fácil de resolver.

También se puede mirar a partir del lagragiano $L = T -V$, aunque mejor este método no lo pongo que no me acuerdo como poner el puntito encima de una variable para indicar que es derivada temporal y sin eso la ecuación de euler-lagrange puede parecer horrible

[Oleguer]

Re: Aproximación a movimiento armónico.

Hola,

A ver, no entiendo muy bien lo que has hecho... Déjame verlo más detenidamente...

Con $U = A Cos (ax)$ Sí se hacerlo. La fórmula del oscilador es la segunda derivada del espacio más la velocidad angular al cuadrado por x igual a 0... Si la fuerza es -du/dx e igualamos a ma... Cuando derivas el Sin(ax) te queda aCos(ax)... ¿Entonces que haces la aproximación antes de derivar?

Yo en la del cos la he hecho después de derivar...

[Dj_jara]

Re: Aproximación a movimiento armónico.

¿Entonces que haces la aproximación antes de derivar?

Si, he aproximado el potencial antes.

[Entro]

Re: Aproximación a movimiento armónico.

¿El potencial del oscilador armónico no va con la x al cuadrado?

[Dj_jara]

Re: Aproximación a movimiento armónico.

¿El potencial del oscilador armónico no va con la x al cuadrado?

pues... podría ser....

bueno,$y = -x +\frac{\pi}{2}$, $\sin x = \cos (\frac{\pi}{2} - x) = cos(y)\approx 1 - \frac{y^2}{2}$
con esto $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} t^2} = -\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2}$

Así, no habría problemas con el cuadrado aunque habría que plantearse como de "cerca" esta $\frac{\pi}{2}$ de 0

[Oleguer]

Re: Aproximación a movimiento armónico.

Hola,

Vale, ahora lo entiendo.

¡Gracias!

pues... podría ser....

bueno,$y = -x +\frac{\pi}{2}$, $\sin x = \cos (\frac{\pi}{2} - x) = cos(y)\approx 1 - \frac{y^2}{2}$
con esto $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} t^2} = -\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2}$

Así, no habría problemas con el cuadrado aunque habría que plantearse como de "cerca" esta $\frac{\pi}{2}$ de 0