Otras carreras Una bolita de masa m se mueve vinculada a una guía lisa...

[Nikola]

Hola colegas, les cuento que tengo el siguiente problemilla,

una bolita de masa m se mueve vinculada a una guía lisa, circular de radio $R$, que gira con velocidad angular ω=cte. alrededor de su diámetro vertical (e). La velocidad de la bolita en el punto más bajo vale $v_0$.

a) Hallar, aplicando Newton, la ecuación diferencial del movimiento relativo de la bolita.
b) Determinar la zona recorrida por la bolita. Discutir según los datos en qué casos ocupa la totalidad del aro. Describir cualitativamente el movimiento relativo en los casos en que la región recorrida por la bolita sea o no el aro completo.
c) Calcular, en cada configuración, la reacción de la guía sobre la bolita y el momento exterior, respecto de (e), que debe ejercerse sobre la guía para mantener la velocidad angular dada

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La parte a) me ha quedado así:
La relativa: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
La absoluta: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

La parte b) no se me ocurre cómo resolverla... ¿Alguna sugerencia?

Saludos!

[felmon38]

Re: Una bolita de masa m se mueve vinculada a una guía lisa...

La segunda ecuación diferencial me sale lo mismo que a ti, y mi duda es que es la primera ecuación?.
Me he quedado atascado en el apartado b) aunque no me preocupa demasiado porque en caso de necesidad resolvería la ecuación numéricamente y lo que me saliese.

[Nikola]

Re: Una bolita de masa m se mueve vinculada a una guía lisa...

Bien, resulta que lo que hay que hacer es preintegrar la ecuación diferencial y sale. La primera ecuación debería chequearla, sería la ec de mov relativa a la guía.

Saludos!

[felmon38]

Re: Una bolita de masa m se mueve vinculada a una guía lisa...

Perdona Nikola, pero la segunda ecuación da el movimiento relativo. ¿Me puedes dar más detalles para resolver b)?

[Nikola]

Re: Una bolita de masa m se mueve vinculada a una guía lisa...

El movimiento relativo viene dado por la primera ecuación: $\displaystyle\ddot \theta + \frac{g}{R}\sin \theta = 0$. La otra ec. corresponde al movimiento absoluto, es decir, visto desde un referencial inercial.

La parte b) se soluciona preintegrando, esto implica resolver esta ecuación diferencial: $\displaystyle\ddot \theta \dot \theta - \frac{g}{R}\sin (\theta )\dot \theta = 0$

Cualquier cosa...

Saludos

- - - Actualizado - - -

Me quedan dudas en la parte c) con el cálculo del momento exterior. ¿Sería el momento dado por la fuerza reactiva sobre la bolita en la dirección perpendicular a la guía y saliente al plano?

[felmon38]

Re: Una bolita de masa m se mueve vinculada a una guía lisa...

Nikola, te tienes que decidir por una de las dos ecuaciones, para que no se vuelva loco $\theta$ intentando satisfacerlas a las dos.
Respecto del momento, el sistema de cuerpos será la bolita y el anillo. Al aplicar la ecuación del momento de las fuerzas que actúan sobre el sistema respecto de e, el único momento es el que te piden, ya que el momento de las reacciones en e se anulan así como el del peso de la bolita. En el segundo miembro está la derivada del momento cinético del aro que es nulo, y la derivada del momento de la masa de la bola por su aceleración respecto del sistema inercial. Los momentos de la masa por la aceleración relativa, así como el de la masa por la aceleración de arrastre son nulos, así que queda únicamente el correspondiente al de la aceleración de Coriolis:

M=m.2.w.D$\theta$.R².sen²$\theta$

(D es la derivada respecto del tiempo)