Secundaria Derivacion fórmula mom. de inercia de un disco plano.

[Oriol Frigola Manzano]

Hola!

Tengo una duda que me ha salido intentando derivar la fórmula que da el momento de inercia de un disco en rotación:

I=1/2 MR^2

M=masa total, R=radio máximo.

Mi problema es que no me da lo que debería. Mi procedimiento es el siguiente; cojer un radio r aleatorio, i sumándole un dr hacer un dA (dif. de área), para calcular ese dA lo que hago es restar el área del circulo interior a la del más grande:

$I=\int r^2 dm$


$dA=(r+dr)^2 \cdot \pi - r^2 \cdot \pi$


que es igual a...


$dA=2 r \pi dr + \pi \cdot dr^2$


$dm=\frac{M}{\pi R^2} dA$


$I=\frac{2M}{ R^2}\int r^2[ r dr + \cdot dr^2]$


Después de solucionar la integral me sale de resultado que I=2/3 MR^2, que es justo el momento de inercia de una esfera hueca!

Alguien sabe que está mal en el planteamiento?

[arivasm]

Re: Derivacion fórmula mom. de inercia de un disco plano.

En primer lugar, los términos con $(\dd r)^2$ conducen a infinitésimos, suprimibles entonces del cálculo. Tu error simplemente debe estar en que no haces la integral de $r^3$. Continúo en donde paraste:
$\dst I=\frac{2M}{ R^2}\int_0^R r^2[ r \dd r + \dd r^2]=\frac{2M}{ R^2}\int_0^R r^2 r \dd r=\frac{2M}{ R^2}\int_0^R r^3 \dd r=\frac{2M}{ R^2}\,\frac{R^4}{4}=\frac{1}{2}MR^2$

[Oriol Frigola Manzano]

Re: Derivacion fórmula mom. de inercia de un disco plano.

Hola,

vale, si eliminamos el (dr)^2 lo entiendo, pero es totalmente "legal" o se trata, en realidad, de una aproximación?

Gracias,

[arivasm]

Re: Derivacion fórmula mom. de inercia de un disco plano.

No es ninguna aproximación. Al hacer la integral con el (dr)², que es un infinitésimo de segundo orden, el resultado será un infinitésimo de primer orden, mientras que la integral con el dr es un número. Y, por ejemplo, 5 más un infinitésimo es 5.

[felmon38]

Re: Derivacion fórmula mom. de inercia de un disco plano.

Hola Oriol, el problema que tenías con los diferenciales se puede diagnosticar leyendo tu primer post, ya que dices que calculas dA, cuando es \DeltaA, es decir un incremento exacto del área.

[Oriol Frigola Manzano]

Re: Derivacion fórmula mom. de inercia de un disco plano.

vale, ya entiendo lo que dices felmon38. He encontrado que la forma correcta sería:

$dA=2\pi r \cdot dr$