Secundaria Duda elemental

[pmascaros]

Hola, tengo la siguiente duda elemental.


En el clásico juego de las bolas colgantes, las cuales están pegadas unas con otras, y cuando levanto la primera y suelto, es la última la que sale disparada, lo que ocurre es que la energía cinética pasa por las bolas hasta llegar a la última.


Mi pregunta es la siguiente, cuando suelto un balón al suelo, éste rebota, ¿por qué como ocurre con el sistema de bolas, la energía de la pelota que suelto no se dispersa por el planeta, y en cambio le es devuelto de forma inmediata?


Cuando comparo lo que pasa en uno y en otro, tengo la sensación de que aun cuando se trate de una masa grande, como es la tierra, la energía debería de traspasarse igual y ésta dispersarse completamente por la masa grande, no sé si me he explicado correctamente.

Gracias

[arivasm]

Re: Duda elemental

Un choque elástico es un proceso en el que se produce un reparto del momento lineal y de la energía cinética entre las partículas participantes.

En el caso de la cuna de Newton lo que tienes es una colisión prácticamente elástica en la que las dos bolas que chocan tienen la misma masa y además lo hacen con un parámetro de impacto nulo. Si sólo fuesen dos bolas, la primera quedaría en reposo y la segunda adquiriría la velocidad de la otra. La única diferencia porque haya más de una bola está en que ese proceso se repite varias veces.

En el caso del balón y la Tierra sucede exactamente igual. Bueno, en realidad hay más pérdidas de energía, por los materiales, como evidencia el que el balón no vuelva a alcanzar la altura inicial. La principal diferencia está en que ambas masas son muuuuuuuy diferentes, de manera que la velocidad que adquiere la Tierra es absolutamente minúscula, mientras que el balón invierte (casi) totalmente la suya.

La manera más adecuada para ver choques consiste en adoptar el sistema de referencia del centro de masas. En él ambas masas se aproximan con una velocidad que es inversamente proporcional a su masa, lo que se traduce en energía cinética que ésta es para cada una también inversamente proporcional a la masa. Tras el choque, si es elástico y se produce en una sola dimensión, cada masa vuelve por donde ha venido y con la misma velocidad que tenía antes.

En el primer caso, es fácil entender que la simetría de papeles que hay desde el sistema de referencia del centro de masas se traducirá en el sistema de referencia del laboratorio que quien estaba antes en reposo después pase a estar en movimiento y viceversa.

En el segundo, el centro de masas coincide prácticamente con la Tierra, debido a su masa gigantesca en comparación con la del balón. Eso significa que dicho sistema es prácticamente igual al de laboratorio. La inversión de los movimientos significará que el balón regresa por donde ha venido, y con la misma velocidad, mientras que la Tierra prácticamente permanece como estaba.

[pmascaros]

Re: Duda elemental

Ok, ya lo pillo. Gracias

- - - Actualizado - - -

Pensando sobre ello, se me despierta otra duda al respecto. Entiendo bien que por conservación de la cantidad es la bola la que sale de nuevo rebotada tal como explicas, pero...¿por qué no ocurre, cuando tiro la bola al suelo, que sean todas las piedrecillas y objetos en la superficie del planeta las que se repartan esta energía cinética y no que sea la bola la que se lleva de nuevo toda la energía cinética de nuevo?

[arivasm]

Re: Duda elemental

Por supuesto entiendo que no te estás refiriendo a las piedras que puedan tener la mala suerte de estar "en medio" de la colisión...

De nuevo tenemos una cuestión de reparto. Como te dije antes, en un choque visto en el SR del centro de masa, la energía cinética de cada cuerpo es inversamente proporcional a su masa. Por tanto, el sistema Tierra+piedrecillas tiene una energía cinética minúscula, que a su vez está repartida muy desigualmente entre la Tierra y las piedrecillas (ten en cuenta que todos estos objetos tienen la misma velocidad en ese SR): la minúscula energía cinética de ese sistema se la lleva casi toda el planeta.

Por otra parte, recuerda que en el SR del cdm la colisión, si es elástica y unidimensional, sólo invierte las velocidades. En consecuencia, esa cohorte que acompaña al planeta, también lo hará en su viaje de regreso tras la colisión. El efecto es, de nuevo, que nada habrá cambiado para esos pequeños objetos.

[pmascaros]

Re: Duda elemental

Gracias Arivasm. Me cuesta un poco diferenciar cuando se es parte del sistema o no. Entiendo que en este caso, aunque yo y la pelota somos también parte de la tierra, yo estoy añadiendo a la pelota una energía (pudiéramos decir que tengo una energía interna que haría las veces de energía potencial) y se produce un choque elástico. Se trasmite la cantidad de movimiento y por conservación sale la pelota disparada.

Supongo que preguntar por qué ocurre eso y no otra cosa, es como preguntar porqué se trasmite la energía, cuestiones que entiendo ya sobrepasan la mecánica elemental.

[arivasm]

Re: Duda elemental

Bajo la etiqueta sistema puedes agrupar los cuerpos que desees. Como te interesa diferenciar la pelota del resto, por eso separé pelota por un lado y consideré un sistema Tierra+piedrecillas.

No se trata de conceptos avanzados: tan sólo es la conservación de la energía y del momento lineal.

[pmascaros]

Re: Duda elemental

Gracias por tu tiempo; lamento ser tan pesado.
Bufff, entiendo perfectamente cómo aplicando las matemáticas ocurre lo que ocurre, y también que así son las cosas en la naturaleza, pero sigo sin "verlo"

Si imagino por ejemplo que tengo 3 bolas colgadas de un hilo (en el clásico juego en el que levanto una y al golpear, es la tercera la que sale disparada) pero a la del medio le imagino una masa muy muy grande; sé que en este caso, cuando levante y suelte la primera, ésta misma rebotará y casi nada de la energía cinética llegará a la tercera. Pero creo que si fuera la tercera bola la que saliera disparada como en el caso en que las tres masas fueran iguales, también se estaría conservando la cantidad de movimiento...¿por qué se conserva de una forma y no de la otra? ¿o no es verdad que también así se estaría conservando?

[arivasm]

Re: Duda elemental

Primero: ¡cómo que eres pesado! En el foro compartimos conocimiento. Los que participamos lo hacemos porque nos gusta la Física!

Yendo a tu pregunta. Sean tres masas m, M y m' (com M mucho mayor que las otras dos; como estás interesado en el caso Tierra-etc, será muchísisisismo mayor!). En el sistema de referencia del laboratorio m y M están inicialmente en reposo, mientras que m' se dirige hacia ellas (chocando contra M) con velocidad v'. Justo un dt después del choque, ¿qué velocidades tendrán M y m'? (es decir, admitamos que todavía m no ha sido afectada por el choque, de manera que continúa en reposo -como alternativa a formar un sistema junto con M-).

Aplicamos la conservación del momento y de la energía y encontramos que la velocidad de m' será, con sentido opuesto al que tenía antes del choque,

$$\dst v'_f= \frac{M-m'}{M+m'}v'$$

mientras que la de M será, en el mismo sentido que tenía v',

$$\dst V=\frac{2m'}{M+m'}v'$$

Observemos que si $M\gg m'$ (1) implica que $v'_f\approx v'$ mientras que $V\approx 0$. Es decir, m' rebota en M y poco más.

De todos modos, pensemos ahora en el nuevo choque: M, que tiene una velocidad V dada por (2) se dirige hacia m, que está en reposo. Veamos qué velocidad adquiere. Como antes recurrimos a la conservación de la energía y del momento y, como es lógico encontramos las mismas expresiones sólo que intercambiando papeles: tras el choque M tiene una velocidad, del mismo sentido que tenía V

$$\dst V_f= \frac{M-m}{M+m}V=\frac{M-m}{M+m}\,\frac{2m'}{M+m'}v'$$

mientras que la de m será, también en el mismo sentido que tenía V,

$$\dst v_f=\frac{2M}{M+m}V=\frac{2M}{M+m}\,\frac{2m'}{M+m'}v'$$

Observemos que si $M \gg m$

$$\dst V_f\approx V$$

$$\dst v_f\approx 2V$$

A la vista de este resultado quizá estés pensando "¡ajá! la piedrecilla m *no* tendrá la misma velocidad que M!" Pues sí, eso será cierto... Es más, como m adquiere una velocidad que es doble de la de M, desde M veremos alejarse a m con una velocidad que también es aproximadamente $V$.

¡¡Mil rayos!! Eso significa que si lanzo un balón aquí, los antípodas verán saltar la piedrecilla con una velocidad $V$!!

Pero aquí es donde entra en juego la proporción entre M y m', que se refleja en (2). Hagamos números: nuestro balón no va a ser la Luna cayendo contra la Tierra. Pero pongamos que es un buen pedrusco, de 6000 kg. Y ya puestos en plan bruto, supongamos que golpea la Tierra a 10 km/s, como un buen meteoro al estilo del que cayó en Rusia, y esta vez golpeando el suelo, ahí es nada!

Como la masa de la Tierra es $\notcien{6}{24}\rm\; kg$, (2) nos conduce a que la piedrecilla saltará con la espectacular velocidad de...$\notcien{2}{-17}\rm\;m/s$. ¡Anda la pera!, ¡en 1 s no se desplazará ni la anchura de un núcleo atómico!!!!

Espero que haya quedado más clara la cuestión.

Saludos!!

[sater]

Re: Duda elemental

jeje que envidia me dan los alumnos a los que les des clase, arivasm!

[arivasm]

Re: Duda elemental

Gracias, sater. No sé si ellos pensarán lo mismo! (esta tarde hemos tenido examen...)

[sater]

Re: Duda elemental

yo lo haría con gusto jaja por cierto me podrías pasar el examen a ver como es (si es de segundo de bachiller)? en mi instituto son algo flojitos y es por ver otras cosas! gracias de antemano y si no puedes o no lo consideras oportuno no importa, es normal, gracias igualmente!