1r ciclo Gravedad Aparente

[kuvala]

Hola Buenas :

Tengo este ejercicio resuelto que no entiendo. Dice así:

"Despreciando el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, puede considerarse el movimiento de ésta alrededor de su eje geográfico polar con una velocidad angular constante $\Omega$ en sentido oeste-este. Si C es un punto de la superficie terrestre de latitud $\lambda$, origen del sistema de coordenadas no inercial, formado por los ejes Cz-vertical del lugar, Cx tangente al paralelo que pasa por C (positivo hacia el Este) y Cy, tangente al meridiano (positivo hacia el Norte), sobre una masa puntual M, en reposo, emplazada en C, no actúa solamente la atracción terrestre, sino además las "fuerzas aparentes" de inercia que hacen que el peso medido en la Tierra varíe con la latitud. La composición de la fuerza de atracción ($M{g}^{ *}$) con la fuerza inercial

$$(-M{\vec{a}}^{ P}_{01}=-M{\vec{\omega}}_{01}\wedge({\vec{\omega}}_{01}\wedge\vec{OP}))$$

permite hallar el valor de la gravedad aparente g, donde

${\vec{\omega}}_{01}=\Omega{[0, cos\lambda, sen\lambda]}^{T }$

$${g}^{ 2}={\left\vert{}{\vec{a}}^{ P}_{20} \right\vert{}}^{ 2}={({g}^{* })}^{2 }+{\Omega}^{4 }{R}^{2 }{\cos}^{ 2}(\lambda)-2{{g}^{* }}^{2 }R{\Omega}^{ 2}{\cos}^{2 }(\lambda)=[...]$$

En los apuntes, define como sólido 1 el SR. inercial, sólido 0 el SR. no inercial y sólido 2 el objeto de estudio en el cual hay un punto P. Entonces, según esta notación tendríamos

$$m{\vec{a}}^{ P}_{20}=\sum_{1}^{N}\vec{{F}_{ i}}-m{\vec{a}}^{ P}_{01}-2m{\vec{\omega}}_{ 01}\wedge{\vec{v}}^{P }_{20}$$

Y he aquí mis dudas:

1.)¿Cualés son los respectivos sólidos 0, 1 y 2? Es decir, según dice el enunciado, el SR. No inercial es el que se encuentra en la superficie de la Tierra, entonces supongo que sería el sólido 0. Por otro lado, dice que hay una masa M que está en reposo así que creo que es el sólido 2. Y el sólido 1 pues yo he pensado que podrían ser unos ejes fijos en el centro de la Tierra. ¿Estaría esto bien así?

2.) ¿Cómo se determina ${\vec{a}}^{ P}_{20}$?

Hasta donde me ha dado la imaginación, he visto que (2) es el resultado de desarrollar el siguiente producto notable, aunque no sé de donde salen las cosas del interior de dicho producto ${({g}^{* }-{\Omega}^{ 2}R\cos(\lambda))}^{2 }$

3.)Si ${\omega}_{ 01}$ quiere decir "velocidad angular del sólido 0 respecto del sólido 1" y suponiendo que los SR. los he colocado bien según he explicado en 1.), el sólido 0 no giraría alrededor del sólido 1 sino que se trasladaria, ¿no? Yo entiendo por "velocidad angular del sólido 0 respecto de 1" como que el SR. No inercial está fijo respecto del origen del SR. Inercial (sólido 1) y que gira respecto de un eje.



Esto último es ya una curiosidad. Cuando vemos las pruebas a las que somete la NASA a los astronautas en la que tienen que montarse en una estructura y girar a unos cuantos g's, ¿el astronauta siente la fuerza centrífuga como si se alejase radialmente del centro?

Muchas gracias.

Un Saludo

[felmon38]

Re: Gravedad Aparente

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Hola:
Antes de ir a las dudas, hay que rectificar el enunciado en el sentido que lo que hay que considerar despreciable es la aceleración del centro de la Tierra respecto del Sol y no su movimiento respecto de el.El punto P supongo que es el punto material de masa m. Para visualizar el peso aparente, conviene suponer que se cuelga el punto material de un hilo,y que cuando el conjunto no se mueve respecto de la Tierra, la tensión del hilo es lo que llamamos peso aparente.No se a que llama el autor sólido 2 y yo no lo necesito para plantear las ecuaciones. En la ecuación 3 supongo que no has incluido el término de la aceleración relativa porque es nulo , el término de la izquierda de la ecuación es la masa m por la aceleración de arrastre: m$\vec{a}$^C₁ ¿no?. Pasamos a las dudas:
1) Entiendo que la Tierra define el sistema de referencia 0 y el Sol el sistema de referencia inercial, por , 1. El sólido 2 no puede ser el punto P porque no es un sólido. Debes tener claro que lo que identifica al sistema de referencia es el solido rigido que lo define, al que se le pueden fijar distintos sistemas de ejes . ¿Qué quieres decir que los ejes están fijos?.
2)Ese término, como he dicho antes, es la aceleración de arrastre, es decir, la aceleración de un punto de la Tierra que coincide con el punto P (el punto C) respecto del Sol: $\vec{a}$^C₁=$\vec{w}$₀₁$\wedge$($\vec{w}$$\wedge$$\vec{OP}$)

3)El movimiento de la Tierra respecto del Sol, no es una translación ni una rotación y esta determinado por dos vectores, uno es el vector velocidad de un punto cualquiera de el, en nuestro caso el centro de la tierra, O, y el otro vector, el vector velocidad angular, de tal forma que la velocidad de un punto cualquiera C es:

$\vec{v}$^C₁=$\vec{v}$^O₁+$\vec{CO}$$\wedge$$\vec{w}$₀₁

Por ultimo la curiosidad: No puede sentir la fuerza centrífuga porque no existe. Sentirá la fuerza de la sujeción a la estructura que irá hacia el centro. Ah! ahora podemos considerar a la Tierra como sistema inercial, ya que los términos de arrastre y Coriolis parece que pueden ser despreciables frente a la aceleración relativa

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[kuvala]

Re: Gravedad Aparente

Hola Buenas

Antes que nada, muchas gracias por contestar. Sí, el punto P es el punto que ocupa la masa m. El sólido 2 creo estar casi seguro que se refiere a la masa m

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En la ecuación 3 supongo que no has incluido el término de la aceleración relativa porque es nulo ,

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En (3) la aceleración relativa es ${\vec{a}}^{ P}_{20}$ que quiere decir "aceleración en el punto P del sólido 2 respecto del sólido 0", donde sólido 0 creo que es el SR. que está en la superficie de la Tierra (es decir, el que define en el enunciado).

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el término de la izquierda de la ecuación es la masa m por la aceleración de arrastre: m$\vec{a}$^C₁ ¿no?.

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La aceleración de arrastre es ${\vec{a}}^{ P}_{01}$ y quiere decir "aceleración del punto P del sólido 0 respecto del sólido 1", suponiendo que en ese instante, P pertenece tanto al sólido 2 como al sólido 0 y el sólido 1 sería el SR. fijo inercial (que como tú has dicho, podría estar ubicado en el centro del Sol, aunque yo creo que de la misma manera, podría estar en el centro de la Tierra)

3)El movimiento de la Tierra respecto del Sol, no es una translación ni una rotación

Pues a mi siempre me han enseñado que la Tierra gira alrededor del Sol y esto lo conocemos como "movimiento de traslación de la Tierra"

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Por ultimo la curiosidad: No puede sentir la fuerza centrífuga porque no existe. Sentirá la fuerza de la sujeción a la estructura que irá hacia el centro. Ah! ahora podemos considerar a la Tierra como sistema inercial, ya que los términos de arrastre y Coriolis parece que pueden ser despreciables frente a la aceleración relativa

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La fuerza centrífuga no existe si lo observamos desde un SR. inercial pero si lo observamos desde el interior (como puede ser el caso cuando estamos tomando una curva dentro de un coche), ahí si aparece la fuerza centrífuga porque lo definimos desde un SR. No inercial. Quizás me equivoque, jeje

Muchas gracias.

Un Saludo

[felmon38]

Re: Gravedad Aparente

Hola kuvala:
Te contesto a la primera respuesta sin encuadrarla porque no se cómo se hace desde mi ipad (lo siento). Cuando estemos de acuerdo seguiré con la segunda....

1) Como punto P me refiero al punto geométrico que lleva asociado la masa m. Sin embargo el punto C es el punto de la Tierra que coincide con P, cuando este está en reposo respecto de la Tierra. Para mi un sólido tiene 3D y el punto P, sólo tiene una, pero bueno podemos discrepar aquí porque esto no afectara al desarrollo posterior.

[kuvala]

Re: Gravedad Aparente

Sí, llevas razón. Es cierto que para este caso da igual porque como bien dices, no creo que afecte al desarrollo. Aunque por otro lado, yo creo que no he puesto en mis comentarios que el punto P sea un sólido... Prefiero que lo consideremos un punto P como tal, no como sólido.

[felmon38]

Re: Gravedad Aparente

Siguientes respuestas:

2) Como no vamos a incluir a 2 lo puedes eliminar en la definición de la aceleracion relativa y en el simbolo.

3) La aceleración de arrastre del punto P es la aceleración del punto C del sistema 0, que coincide con P en ese instante, respecto del sistema 1. Por eso en el símbolo de aceleracíón de arrastre debe figurar el punto C y no el P. P no pertenece al solido 0 y otra cosa es que coincidan siempre que no haya movimiento relativo.
No estoy de acuerdo con tu expresión "SR. fijo inercial" ya que en Mecánica no hay nada fijo, depende del S.R. que elijas para determinar su posición. Puedes decir que el S.R. es un sistema privilegiado, ya que es solamente en él donde se cumple el segundo postulado de la Mecánica, pero no fijo.
Otra cosa, el centro de la Tierra no pertenece al Sol.