1r ciclo ¿Ecuaciones diferenciales para simular un péndulo o cuna de Newton?

[irg1994]

Buenos días!

Les comento. Ando queriendo simular un péndulo de Newton en Matlab. He creado el post en esta sección ya que mi duda no esta relacionada con la informática exactamente.

Mi duda es a ver si me podíais ayudar a plantear la ecuación diferencial de segundo orden del péndulo de la forma mas correcta o que mas se asemeje a la realidad dentro de mis posibilidades para posteriormente intentar resolverla numéricamente.

Muchas gracias de antemano!

[gdonoso94]

Re: ¿Ecuaciones diferenciales para simular un péndulo o cuna de Newton?

La ecuación de un péndulo es algo así como:

$$\ddot{\theta}+\frac{g}{L}\theta=0$$

¿Eso es lo que buscas?

Un saludo!

[arivasm]

Re: ¿Ecuaciones diferenciales para simular un péndulo o cuna de Newton?

Ésa es la aproximación de la ecuación de un péndulo para oscilaciones pequeñas. La general es $\ddot\theta+\frac{g}{L}\sin\theta=0$

[felmon38]

Re: ¿Ecuaciones diferenciales para simular un péndulo o cuna de Newton?

irg, ¿has visto la página http://www.worldscientific.com/doi/p...18202511005763 ? ¡Ánimo!

[irg1994]

Re: ¿Ecuaciones diferenciales para simular un péndulo o cuna de Newton?

Si, la ecuación que quería era la segunda creo, muchas gracias jeje, aunque creo que tendría que tener en cuenta el rozamiento ¿no?, ¿como lo introduciría en la ecuación?. ¿Simplemente debo introducir sumando un gamma por la derivada del angulo respecto al tiempo donde gamma seria una constante de rozamiento? Y de ser así, ¿De que factores depende esa constante?

Respecto a lo de esa página, ando un poco peleado con el inglés jaja no se me da muy bien =S, pero intentare echarle un vistazo, muchas gracias!

- - - Actualizado - - -

Otra duda que tengo es la siguiente.

En clase nos enseñaron dos métodos de resolución numérica de ecuaciones diferenciales, el método de Euler y el método del punto medio, aunque el segundo es mas exacto y es el que utilizamos. El caso es que no lo entendí muy bien, y no se cual es el procedimiento para llegar a las ecuaciones que resuelven la ecuación numéricamente, es decir, las que tengo que usar en Matlab. Por eso quería pediros si sabéis donde puedo encontrar unos apuntes claros donde me expliquen el método del punto medio?

Muchas gracias de antemano!

[arivasm]

Re: ¿Ecuaciones diferenciales para simular un péndulo o cuna de Newton?

Antes de nada: ¿quieres simular *un* péndulo, o una colección de ellos que chocan (cuna de Newton)?.

Con respecto al rozamiento, el más sencillo de simular (y quizá el más importante) procede del frenado aerodinámico, que puedes modelar con la Ley de Stokes: $F_r=-6\pi\eta R v=-6\pi\eta R L \dot \theta$ donde R es el radio de la esfera (suponiendo que la lenteja del péndulo lo sea) y $\eta$ es la viscosidad del medio (por ejemplo el aire). En tu caso, al manejar una ecuación angular entrará en la ecuación diferencial como $\dst\ddot\theta+\frac{6\pi\eta R}{m}\dot\theta+\frac L g \sin\theta=0$

Con respecto al método de integración, en mi experiencia los mejores son los de Runge-Kutta, pues son fáciles de implementar y bastante precisos. Por lo que se refiere al método del punto medio, quizá las dos primeras páginas de este documento te sirvan: http://www.uv.es/~diazj/practica9.pdf

[irg1994]

Re: ¿Ecuaciones diferenciales para simular un péndulo o cuna de Newton?

Muchas gracias por la información, en cuanto pueda me pondré manos a la obra a resolverlo.

El proyecto que quiero simular es una cuna de newton, con mas de un péndulo por tanto, pero para ello el primer problema que se me plantea es el de resolver la ecuación de uno solo ¿no? =S

[arivasm]

Re: ¿Ecuaciones diferenciales para simular un péndulo o cuna de Newton?

Entonces también necesitarás meter en juego los procesos de colisión. La disipación de la energía es más notable en ellos que la que pueda causar el frenado aerodinámico. Mi consejo es que omitas la pérdida de energía, al menos inicialmente.

[felmon38]

Re: ¿Ecuaciones diferenciales para simular un péndulo o cuna de Newton?

Aquí tienes una página en español sobre la cuna de Newton:
[FONT=.HelveticaNeueUI]http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/con_mlineal/cuna_newton/cuna_newton.htm[/FONT]

[irg1994]

Re: ¿Ecuaciones diferenciales para simular un péndulo o cuna de Newton?

La disipación de la energia no me influye en la ecuacion diferencial en la simulación ¿No?, ¿tendré que tenerlo en cuenta al aplicar la conservación de la energía y del momento verdad?

- - - Actualizado - - -

P.D.: no entiendo el método de Runge-Kutta y tampoco como aplicarlo en este caso =S

[arivasm]

Re: ¿Ecuaciones diferenciales para simular un péndulo o cuna de Newton?

Como te dije, te aconsejo que pases de la disipación de la energía (lo que incluye los rozamientos, fuerzas de viscosidad y el calentamiento de las bolas -es decir, que las colisiones entre ellas no sean perfectamente elásticas-). Échale un vistazo a la página que te ha puesto el compañero felmon38, pues ahí tienes un montón de detalles que puedes añadir, con respecto a la transferencia de energía entre las bolas. Por cierto, yo empezaría prescindiendo también de esto último: como si dicha transferencia se produjese instantáneamente.

[irg1994]

Re: ¿Ecuaciones diferenciales para simular un péndulo o cuna de Newton?

Si ya, pero eso es posterior, mi problema ahora es que no se resolver la ecuación diferencial que me describe el movimiento de "un" péndulo y por tanto no puedo pasar a esa segunda parte en la que hago el péndulo de newton =S

[arivasm]

Re: ¿Ecuaciones diferenciales para simular un péndulo o cuna de Newton?

¿Tienes problema con el algoritmo numérico? Maneja la ecuación como si fuese vectorial: $\dot\vec y=\vec f(t,\vec y)$, donde
$\vec y=(y_1,y_2)=(\theta,\dot\theta)$ y $\vec f=(y_2,f_2)$ con $f_2=-\frac{L}{g}\sin\theta=-\frac{L}{g}\sin y_1$.

Por ejemplo, con el humilde método de Euler la cosa sería así: $(\theta_n,\dot\theta_n)=(\theta_{n-1},\dot\theta_{n-1})+\Delta t\left(\dot\theta_{n-1},-\frac{L}{g}\sin \theta_{n-1}\right)$

[irg1994]

Re: ¿Ecuaciones diferenciales para simular un péndulo o cuna de Newton?

Buenos días!!

Perdón por haber contestado después de tanto tiempo. Al final lo hice por el método del punto medio, y simulé choques elásticos, vamos, un programa muy sencillito. Pero para mi sorpresa saque un 10 .

Por eso quería daros infinitamente las gracias!

Les adjunto el programa para aquellos que tengan Matlab y les interese, así como el informe del mismo.

Un saludo y muchas gracias nuevamente!!

[arivasm]

Re: ¿Ecuaciones diferenciales para simular un péndulo o cuna de Newton?

Me ha gustado ver que en las fuentes has incluido el foro