Otras carreras Movimiento Ondulatorio

[Reaben]

Buenos días a todos.

Aquí les planteo un pequeño problema sobre la propagación de un pulso que me esta dando algo de dolor de cabeza. Tengo entendido que para su resolución hay que recurrir a ecuaciones diferenciales, pero no tengo claras las formulas. De echo creo que la velocidad sale de la derivada de x en función del tiempo. Pero el problema esta en yo no soy físico, soy matemático y por tanto no dispongo de bibliografia adecuada ni se muy bien donde documentarme. En fin, no me alargo mas, les dejo el enunciado a ver que opinan ustedes. MUCHAS GRACIAS DE ANTEMANO:

[FONT=lucida grande]Un pulso se propaga de acuerdo con la función y=3e[/FONT]^{[FONT=lucida grande][-(5t+2x)^2][/FONT]}[FONT=lucida grande], estando las unidades expresadas en el sistema internacional. Determinar:[/FONT]
[FONT=lucida grande]a) Dirección y sentido de propagación del pulso, velocidad de propagación. [/FONT]
[FONT=lucida grande]b) Posición del pulso en t=0s, altura máxima del pulso, anchura del pulso mitad de altura.[/FONT]
[FONT=lucida grande]c) Posición del pulso al cabo de 4s[/FONT]

[arivasm]

Re: Movimiento Ondulatorio

La ecuación de onda es de la forma $\dst\frac{\partial y^2}{\partial x^2}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial y^2}{\partial t^2}$. Por tanto, un método bruto pasaría por substituir y ver que c=5/2 m/s. Menos bruto es tener en cuenta que todas las soluciones de la ecuación anterior serán de la forma general $f(x+ct)+g(x-ct)$, donde f representa ondas que avanzan en el sentido negativo de x y g ondas que lo hacen en el positivo. Comparando con la de tu problema vemos que sólo tenemos la primera forma (la que llamé f) con $x+ct=x+\frac{5}{2}t$, luego, como antes, c=5/2 m/s.

Para b) y c) sólo necesitas substituir los valores de t y responder como si te preguntasen respecto de las funciones $y_0=3 \ee^{-4x^2}$ e $y_4=3 \ee^{-(20+2x)^2}$ lo que es un problema más matemático que físico. De todos modos, entendiendo por posición del pulso la correspondiente al máximo, está claro que la posición para t=0 es x=0 y para t=4 s es x=-10 m, y también que las alturas máximas y anchuras deben ser las mismas en ambos instantes (3 m y, si no equivoco, $\sqrt{\ln 2}\,\rm m$).

[Reaben]

Re: Movimiento Ondulatorio

Muchas gracias compañero.
Tu solución me fue de gran utilidad. Lo resolví y me coincide el resultado. La forma de la ecuación de onda la vi cuando estudia ecuaciones en derivadas parciales, pero no la recordaba, es lo que tienen los años jajaja...
Una ultima cosita si no es mucha molestia. No termino de entender el comentario final sobre las alturas y las anchuras. Podrías extender esta parte un poquito mas?

[arivasm]

Re: Movimiento Ondulatorio

Es sencillo: la función $y=A\ee^{-ax^2}$ claramente tiene un máximo local en x=0, de valor $y=A$ (pues, evidentemente, cualquier otro valor de x conducirá a un valor de y menor). Si el exponente no es x^2, sino que es $y=A\ee^{-(ax+b)^2}$ también está claro que el máximo valdrá $y=A$, pues corresponderá con que el exponente sea cero. Por otra parte, la propia forma de la función de onda, al ser de la forma f(x+ct), asegura que el paquete se desplaza como un todo, es decir, que el paso del tiempo simplemente equivale a hacer un cambio de coordenadas x'=x+ct, con lo que cualquier razonamiento que se haga para x (en t=0) será exactamente el mismo que hagamos para el x'.

Con respecto a la anchura, puesto que el máximo corresponde a x=0, y=A, basta con buscar los x que tienen y=A/2, y determinar la distancia entre ellos (que será 2x): $\dst\frac A 2=A \ee^{-ax^2}$ implica que $\ln 2=ax^2$, de manera que la anchura será $\dst 2\sqrt{\frac{\ln 2}{a}}$. Para el instante t que no es 0 el razonamiento es idéntico al del final del párrafo anterior.